Чи є узагальнення сліду Піллая та сліду Готелінга-Лоулі?

У встановленні багатоваріантної множинної регресії (векторний регресор і регресіяі) чотири основні тести загальної гіпотези (Ламбда Вілка, Пілла-Бартлетта, Готелінга-Лоулі та Найбільший корінь Роя) залежать від власних значень матриці , де і - матриці варіації "поясненої" та "загальної". $H E^{-1}$ $H$ $E$

Я помітив, що статистику Піллая та Хотелінга-Лоулі можна виразити як для відповідно . Я дивлюся на додаток, де розподіл цього сліду, визначеного для аналогів сукупності і , представляє інтерес для випадку . (модульні помилки в моїй роботі.) Мені цікаво, якщо є відоме уніфікація вибіркової статистики для загального , або якесь узагальнення, яке фіксує два чи більше чотирьох класичних тестів. Я розумію, що для не дорівнює або

ψ_{κ} = Tr (H {[κ H + E]}^{- 1}),

$\psi_{\kappa} = \mbox{Tr}\left(H\left[\kappa H + E\right]^{-1}\right),$

κ = 1, 0

$\kappa = 1, 0$

H

$H$

E

$E$

κ = 2

$\kappa = 2$

κ

$\kappa$

κ

$\kappa$

0

$0$

1

$1$ , чисельник більше не схожий на квадрат Chi під нулем, і тому центральне наближення F здається сумнівним, тому, можливо, це глухий кут.

Я сподіваюся, що були проведені деякі дослідження щодо розподілу під нуль ( тобто справжня матриця коефіцієнтів регресії - всі нулі) та під альтернативою. Мене особливо цікавить випадок , але якщо є робота над загальним випадком , я, звичайно, можу це використати. $\psi_{\kappa}$ $\kappa = 2$ $\kappa$

— шабчеф
джерело

Зачекайте,

- варіація "E'xplained", а

- "T'otal"? Просто перевіряю мою мнемоніку.

H

$H$

E

$E$

— кардинал

@cardinal, це правильно. Коли

є багатовимірні припадки найменших квадратів коефіцієнтів кореляції, ми маємо

\hat{B}

$\hat{B}$

H = {\hat{B}}^{⊤} (X^{⊤} X) \hat{B}

$H=\hat{B}^{\top} \left(X^{\top}X\right)\hat{B}$

E = {(Y - X \hat{B})}^{⊤} (Y - X \hat{B}) .

$E=\left(Y - X\hat{B}\right)^{\top}\left(Y - X\hat{B}\right).$ Огляд (буквально) великої картини від Michael Friendly був для мене досить корисним: psych.yorku.ca/lab/psy6140/lectures/…

— shabbychef

Дякую! Я буду дивитись. (До речі, мене начебто дражнило, ґрунтуючись на виборі літер, «h» для «пояснено», а «e» для «загального».) До речі, цікаве запитання; (+1) від мене.

— кардинал

@cardinal Я був недостатньо кофеїн, щоб помітити жарт. Так, мнемоніка погана, але вибір

(і

) досить стандартний.

H

$H$

E

$E$

T = H + E

$T=H+E$

— shabbychef

Жарт був досить поганим, що потрібно було б помітити багато кофеїну.

— кардинал

Я думаю, що продуктивні узагальнення виходитимуть із спостережень, які

деякі з цих тестів є нормами вектора , тому слід Хотелінга-Лоулі є нормою , ${\rm spec}[HE^{-1}]=\{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\}$ $l_1$ , а найбільший корінь Роя - норма,. $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_1$ $l_\infty$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_\infty$
деякі з цих тестів можуть бути нормою матриці , наприклад, найбільшим коренем Роя є спектральний, або , норма . $HE^{-1}$ $l_2$ $\| H E^{-1} \|_2$
деякі тести можуть мати узагальнену форму ентропії , наприклад, слід Хотелінга-Лоулі - GE (1), найбільший корінь Роя - GE ( ), а Wilks ' - GE (-1) на , до монотонного перетворення кожного. $\infty$ $\Lambda$ $\{1+\lambda_1, \ldots, 1+\lambda_p\}$

Коли розважаються інші норми або інші узагальнені параметри ентропії, можуть бути отримані інші статистичні дані, які можуть мати значення. Я сумніваюся, що будь-який з них створить ваш , хоча. $\psi_2$

— СтасК
джерело

Я вважаю, що у нас є

ψ_{κ} = \sum_{i} \frac{λ_{i}}{1 + κ λ_{i}}

$\psi_{\kappa} = \sum_i \frac{\lambda_i}{1 + \kappa\lambda_i}$ , де - власні значення

. Але це, схоже, нікуди не дістає мене. Я думаю, я не знаю достатньо про розподіл сум власних значень ...

λ_{i}

$\lambda_i$

H E^{- 1}

$HE^{-1}$

— shabbychef