Якщо X і Y є некорельованими, чи є X ^ 2 і Y також некорельованими?

Якщо дві випадкові величини і є некорельованими, чи можемо ми також знати, що і некорельовані? Моя гіпотеза - так. $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

$X, Y$ некорельований означає , або $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

Чи означає це також наступне?

E [X^{2} Y] = \int x^{2} y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x^{2} f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X^{2}] E [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence

— Вегард Стикбакке
джерело

Так. На це запитання було задано і відповіли раніше, але я не можу знайти конкретного посилання на своєму мобільному пристрої.

— Діліп Сарват

@DilipSarwate здається, що прийнята відповідь вже дає протилежний приклад.

— Vim

@DilipSarwate Ви, мабуть, у вашому коментарі мали на увазі "Ні" замість "Так"!

— амеба повідомляє, що повернеться Моніка

@amoeba Оригінальна версія запитання задала питання про незалежність, відповідь на що дійсно так. З цього часу він редагується, щоб запитати про некорельовані випадкові змінні. Я не можу зараз змінити свій коментар.

— Діліп Сарват

Первісне питання було досить заплутаним, оскільки використовувало неправильне визначення незалежності. Поточне запитання все ще заплутане, оскільки воно стверджує, що невідповідний відрахування від некорельованого (воно передбачає, що ). Я сподіваюсь @vegardstikbakke читає правильні визначення незалежних та некоррельованих, з деякими прикладами.

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

— Мені Розенфельд

Відповіді:

Ні. Контрприклад:

Нехай рівномірно розподілений на , . $X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

Тоді а також ( - непарна функція), тому є некорельованими. $E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

Але $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

Остання нерівність випливає з нерівності Дженсена. Це також випливає з того, що оскільки не є постійним. $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

Проблема ваших міркувань полягає в тому, що може залежати від і навпаки, тому ваша передостання рівність недійсна. $f_X$ $y$

— Якуб Бартчук
джерело

Не потрібно ускладнювати нерівність Дженсена; - невід'ємна випадкова величина і не дорівнює wp 1, тому (або ви можете просто зробити і легко побачити її позитивну ).

X^{4}

$X^4$

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

— Бетмен

Також слід додати сюжет. Я розглядав подібний приклад (Y = | X | на -1: +1), але представив би це візуально.

— Аноні-Мус

@Batman Я насправді не бачу, як це дає тобі щось, оскільки нас цікавить, якщо

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

— Якуб Бартчук

@ Аноні-Мус Не потрібно обмежувати Y. Y = | X | відповідає вимозі.

— Лорен Печтел

LorenPechtel для візуалізації. Тому що в ІМХО краще зрозуміти, чому це може статися, а не тільки, щоб результат математики був бажаним.

— Аноні-Мус

Навіть якщо , не тільки можливо, що і співвідносяться, але вони можуть бути навіть ідеально співвіднесені, з : $\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

Або : $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

$X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

$X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

— Срібна рибка
джерело

$E[h(X,Y)]$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

— Лука Сіті
джерело