Чому очікування те саме, що середнє арифметичне?

47

Сьогодні я натрапив на нову тему під назвою Математичне очікування. У книзі, яку я слідую, йдеться про те, що очікування - це середнє арифметичне випадкової величини, що виходить з будь-якого розподілу ймовірностей. Але він визначає очікування як суму добутку деяких даних і ймовірність їх. Як ці двоє (середній і очікуваний) можуть бути однаковими? Яким чином сума ймовірних разів даних може бути середньою серед всього розподілу?

expected-value

— прафія
джерело

51

Неофіційно розподіл ймовірностей визначає відносну частоту результатів випадкової величини - очікуване значення можна вважати середньозваженим серед цих результатів (зваженим на відносну частоту). Аналогічно, очікуване значення можна розглядати як середнє арифметичне набору чисел, згенерованих в точній пропорції до їх ймовірності виникнення (у випадку безперервної випадкової величини це не зовсім вірно, оскільки конкретні значення мають ймовірність ). $0$

Зв'язок між очікуваним значенням і середнім арифметичним є найбільш зрозумілим з дискретної випадкової величини, де очікуване значення

Е (Х) = \sum_{S} х П (Х = х)

$E(X) = \sum_{S} x P(X=x)$

де - пробний простір. Наприклад, припустимо, у вас є дискретна випадкова величина така: $S$ $X$

Х = {\begin{cases} 1 & з вірогідністю 1 / 8 \\ 2 & з вірогідністю 3 / 8 \\ 3 & з вірогідністю 1 / 2 \end{cases}

$X = \begin{cases} 1 & \mbox{with probability } 1/8 \\ 2 & \mbox{with probability } 3/8 \\ 3 & \mbox{with probability } 1/2 \end{cases}$

Тобто функція маси ймовірностей дорівнює , , а . Використовуючи формулу вище, очікуване значення дорівнює $P(X=1)=1/8$ $P(X=2)=3/8$ $P(X=3)=1/2$

Е (Х) = 1 \cdot (1 / 8) + 2 \cdot (3 / 8) + 3 \cdot (1 / 2) = 2.375

$E(X) = 1\cdot (1/8) + 2 \cdot (3/8) + 3 \cdot (1/2) = 2.375$

Тепер розглянемо числа, згенеровані з частотами, точно пропорційні функції масової ймовірності - наприклад, набір чисел - два с, шість с і вісім с. Тепер візьмемо середнє арифметичне цих чисел: $\{1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3\}$ $1$ $2$ $3$

\frac{1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3}{16} = 2.375

$\frac{1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3}{16} = 2.375$

і ви бачите, що воно точно до очікуваного значення.

— Макрос
джерело

Чи не було б це краще проілюстровано за допомогою більш простого набору {1,2,2,2,3,3,3,3}? Вираз, що показує середнє арифметичне цього набору, ідентичний виразу, що показує значення очікування цієї змінної (якщо перетворити зважені продукти у прості суми).

— Dancrumb

Re: "Вираз, що показує середнє арифметичне цього набору, ідентичний виразу, що показує значення очікування цієї змінної (якщо ви перетворюєте зважені продукти у прості суми)" - Так @Dancrumb, в цьому і полягає вся суть :)

— Macro

12

Очікування - це середнє значення або середнє значення випадкової величини, а не розподіл ймовірностей. Таким чином, для дискретних випадкових змінних середнє середньозважене значення, яке випадкова величина приймає там, де зважування відповідає відносній частоті виникнення цих окремих значень. Для абсолютно неперервної випадкової величини це інтеграл значень x, помножений на щільність ймовірності. Дані, що спостерігаються, можна розглядати як значення колекції незалежних однаково розподілених випадкових змінних. Середнє значення вибірки (або очікування вибірки) визначається як очікування даних щодо емпіричного розподілу спостережуваних даних. Це робить просто середнє арифметичне даних.

— Майкл Черник
джерело

2

+1. Хороший улов: "Очікування - це середнє значення або середнє значення випадкової величини, а не розподіл ймовірностей". Я не помітив цього тонкого зловживання термінологією.

— Макрос

4

Звернемо пильну увагу на визначення:

Середнє значення визначається як сума колекції чисел, поділена на кількість чисел у колекції. Обчислення було б "для i в 1 до n, (сума x sub i) ділиться на n".

Очікуване значення (EV) - це середньострокове значення повторень експерименту, який він представляє. Обчислення було б "для i в 1 до n, сума події x sub i кратна його ймовірності (і сума всіх p sub i must = 1)".

У випадку справедливої смерті легко помітити, що середня величина та коефіцієнт EV є однаковими. Середнє значення - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 - 3,5 і EV буде:

prob xp * x

0,167 1 0,17

0,167 2 0,33

0,167 3 0,50

0,167 4 0,67

0,167 5 0,83

0,167 6 1,00

EV = сума (p * x) = 3,50

Але що робити, якщо померти не були "справедливими". Найпростішим способом зробити несправедливу смерть було б просвердлити отвір у куті на перетині 4, 5 та 6 граней. Далі скажемо тепер, що ймовірність прокатки 4, 5 або 6 на нашому новому та вдосконаленому кривому штампі становить зараз .2, а ймовірність прокатки 1, 2 або 3 зараз становить .133. Це однакові штампи з 6 гранями, по одному номеру на кожному лиці, а середнє значення для цієї штампу все ще 3,5. Однак після багаторазового відмирання цього вимирання зараз 3,8, оскільки ймовірність подій вже не однакова для всіх подій.

prob xp * x

0,133 1 0,13

0,133 2 0,27

0,133 3 0,40

0.200 4 0,80

0.200 5 1.00

0.200 6 1.20

EV = сума (p * x) = 3,80

Знову ж таки, будьмо обережні та повернімось до визначення, перш ніж робити висновок, що одна річ завжди буде «такою ж, як і інша». Погляньте, як встановлюється нормальна штамповка, і просвердлите отвір в інших 7 кутах і подивіться, як змінюються ПВ - веселіться.

Bob_T

— Bob_T
джерело

-1

Єдина різниця між "середнім" та "очікуваним значенням" полягає в тому, що середнє значення використовується в основному для розподілу частоти, а очікування використовується для розподілу ймовірностей. При розподілі частоти вибірковий простір складається із змінних та їх частот виникнення. При розподілі ймовірностей вибірковий простір складається з випадкових змінних та їх ймовірностей. Тепер ми знаємо, що загальна ймовірність всіх змінних у вибірковому просторі повинна бути = 1. У цьому полягає основна відмінність. Термін знаменника очікування завжди = 1. (тобто підсумовування f (xi) = 1) Однак таких обмежень щодо підсумовування частоти немає (що в основному є загальною кількістю записів).

— Шрути
джерело