Чи можемо ми зробити висновок з

Ну, ми не можемо побачити, наприклад, https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence для цікавого контрприкладу. Але справжнє запитання: чи є якийсь спосіб посилити умову, щоб випливала незалежність? Наприклад, чи є якийсь набір функцій $g_1, \dotsc, g_n$ так що якщо $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ для усіх $i,j$ то незалежність слідує? І наскільки великим повинен бути такий набір функцій, нескінченних?

І крім того, чи є якась хороша довідка, яка стосується цього питання?

— kjetil b halvorsen
джерело

чи пощастило вам з цим? Я хотів би дізнатися, чи існує обмежений набір функцій, який працює для будь-якої пари РВ, і особливо виправданням є щось інше, ніж факторизація CDF

— jld

Я загляну в це! Я сумніваюся, що взагалі існує кінцевий набір, але будь-який набір, який є основою лінійного набору функцій, повинен робити (наприклад, якщо

X, Y

$X, Y$ обидва мають значення в

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$ то набір

n + 1

$n+1$ повинні виконувати функції лінійно незалежних поліномів (або інших).

— kjetil b halvorsen

Дозволяє $(\Omega, \mathscr F, P)$ бути простором ймовірності. За визначенням дві випадкові величини $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ є незалежними, якщо їх $\sigma$ -алгебри $S_X := \sigma(X)$ і $S_Y := \sigma(Y)$ є незалежними, тобто $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ ми маємо $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ .

Дозволяє $g_a(x) = I(x \leq a)$ і візьми $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ (спасибі @grand_chat за вказівку на це $\mathbb Q$ достатньо). Тоді маємо

E (g_{a} (X) g_{b} (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$ і

E (g_{a} (X)) E (g_{b} (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

Якщо припустити, що $\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$ то ми можемо звернутися до

π - λ

$\pi-\lambda$ теорема, щоб показати це

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$ тобто

X ⊥ Y

$X \perp Y$ .

Тому, якщо я не помилився, у нас принаймні є підрахункова колекція таких функцій, і це стосується будь-якої пари випадкових змінних, визначених у загальному просторі ймовірностей.

— jld
джерело

Що ти насправді показав? Хоча ви визначили незліченну колекцію функцій, де ви продемонстрували, що вони всі потрібні? Важко уявити, що така кількість функцій буде необхідною, коли

X

$X$ і

Y

$Y$ кожен, наприклад, має кінцеві набори можливих значень.

— whuber

@whuber я намагався відповісти на запитання про те, чи взагалі існує така колекція функцій. Я погоджуюся, що більш цікавим аспектом є пошук мінімального такого набору (над яким я все ще працюю)

— jld

Можна зменшити

G

$G$ до лічильного набору, вважаючи просто раціональним

a

$a$ .

— grand_chat

@grand_chat Чудовий момент, я оновив

— jld