Очікуване значення часу очікування першого з двох автобусів, які курсують кожні 10 та 15 хвилин

19

Я натрапив на питання інтерв'ю:

Є червоний поїзд, який їде кожні 10 хвилин. Синій потяг їде кожні 15 хвилин. Обидва вони починаються з випадкового часу, тому у вас немає розкладу. Якщо ви прибуваєте на станцію у випадковий час і їдете будь-яким поїздом, який приходить першим, який очікуваний час очікування?

probability random-variable expected-value

— Шенджі Чжан
джерело

3

Чи поїзди прибувають вчасно, але з невідомими однаково розподіленими фазами, чи вони дотримуються процесу пуассона із засобами 10 хв та 15хв.

— Tilefish Poele

1

Колишній, а не пуассон.

— Shengjie Zhang

7

@Tilefish робить важливий коментар, на який усі повинні звернути увагу. Однозначної відповіді немає. Ви повинні припустити, що може означати "початок з випадкового часу". (Чи означає це, що вони починаються одночасно, або що вони починаються в різні невідомі часи? Що могло б виправдати трактування "невідомого" як випадкової величини з визначеним відомим розподілом?) Як функцію різниці фаз (що має значення лише за модулем 5 хвилин), відповідь може змінюватись від до . Рівномірний розподіл різниці фаз дасть .

15 / 4

$15/4$

25 / 6

$25/6$

35 / 9

$35/9$

— whuber

@whuber всі, здавалося, інтерпретували коментар ОП так, ніби два автобуси пускалися у два різні випадкові часи. Те, що вони розпочнуться в один і той же випадковий час, здається, незвичним

— заходом

1

@Aksakal. Не всі: я не знаю, і хоча б однієї відповіді в цій темі немає - тому ми бачимо різні числові відповіді. Більше того, майже ніхто не визнає факту, що їм довелося зробити якесь таке тлумачення питання, щоб отримати відповідь.

— whuber

15

Один із способів підходу до проблеми - почати з функції виживання. Для того, щоб чекати хоча б хвилин, вам доведеться почекати принаймні хвилин як для червоного, так і для синього поїзда. Таким чином, загальна функція виживання є лише продуктом окремих функцій виживання: $t$ $t$

S (t) = (1 - \frac{t}{10}) (1 - \frac{t}{15})

$S(t) = \left( 1 - \frac{t}{10} \right) \left(1-\frac{t}{15} \right)$

що при - це ймовірність того, що вам доведеться чекати принаймні хвилин на наступний поїзд. Це враховує роз'яснення ОП у коментарі, що правильні припущення, що належить, - це те, що кожен поїзд працює за встановленим розкладом руху незалежно від іншого та від часу прибуття мандрівника, і що фази двох поїздів розподілені рівномірно. , $0 \le t \le 10$ $t$

Тоді pdf виходить як

p (t) = (1 - S (t))^{'} = \frac{1}{10} (1 - \frac{t}{15}) + \frac{1}{15} (1 - \frac{t}{10})

$p(t) = (1-S(t))' = \frac{1}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{1}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right)$

І очікуване значення виходить звичайним способом:

, $E[t] = \int_0^{10} t p(t) dt = \int_0^{10} \frac{t}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{t}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right) dt = \int_0^{10} \left( \frac{t}{6} - \frac{t^2}{75} \right) dt$

що працює до хвилин. $\frac{35}{9}$

— Дейв
джерело

Дейв, ти можеш пояснити, як p (t) = (1- s (t)) '?

— Chef1075

Я можу пояснити, що для вас S (t) = 1-F (t), p (t) - просто f (t) = F (t) '.

— Глибока Північ,

4

Ідея функції виживання чудова. Але навіщо черпати PDF, коли ви можете безпосередньо інтегрувати функцію виживання, щоб отримати очікування? Насправді, дві третини цієї відповіді лише демонструє фундаментальну теорему обчислення конкретним прикладом. І що виправдовує використання продукту для отримання

? За цим є приховане припущення.

S

$S$

— whuber

2

@whuber Я віддаю перевагу такому підходу, виводячи PDF з функції виживання, оскільки він правильно обробляє випадки, коли домен випадкової змінної не починається з 0.

— Дейв,

2

(1) Ваш домен позитивний. (2) Формула легко узагальнена. .

— whuber

9

Відповідь - Отримати частини всередині дужок: Отже, частина дорівнює:

E [t] = \int_{x} \int_{y} min (x, y) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x d y = \int_{x} (\int_{y < x} y d y + \int_{y > x} x d y) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x

$E[t]=\int_x\int_y \min(x,y)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx dy=\int_x\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx$

\int_{y < x} y d y = y^{2} / 2 |_{0}^{x} = x^{2} / 2

$\int_{y<x}ydy=y^2/2|_0^x=x^2/2$

\int_{y > x} x d y = x y |_{x}^{15} = 15 x - x^{2}

$\int_{y>x}xdy=xy|_x^{15}=15x-x^2$

Нарешті,

(.) = (\int_{y < x} y d y + \int_{y > x} x d y) = 15 x - x^{2} / 2

$(.)=\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)=15x-x^2/2$

E [t] = \int_{x} (15 x - x^{2} / 2) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x = (15 x^{2} / 2 - x^{3} / 6) |_{0}^{10} \frac{1}{10} \frac{1}{15} = (1500 / 2 - 1000 / 6) \frac{1}{10} \frac{1}{15} = 5 - 10 / 9 \approx 3.89

$E[t]=\int_x (15x-x^2/2)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx= (15x^2/2-x^3/6)|_0^{10}\frac 1 {10} \frac 1 {15}\\= (1500/2-1000/6)\frac 1 {10} \frac 1 {15}=5-10/9\approx 3.89$

Ось код MATLAB для імітації:

nsim = 10000000;
red= rand(nsim,1)*10;
blue= rand(nsim,1)*15;
nextbus = min([red,blue],[],2);
mean(nextbus)

— Аксакал
джерело

1

Ви робите невірні припущення щодо початкової точки відправлення поїздів. тобто, використовуючи вашу логіку, скільки червоних та синіх поїздів прибуває кожні 2 години? Скільки потягів за 2 години? і т. д.

— Tilefish Poele

1

Чи можуть поїзди не приїжджати як в 0, так і в 60 хвилин?

— Tilefish Poele

1

що робити, якщо вони почнуть одночасно - це я намагаюся сказати. Що робити, якщо вони обидва стартують в хвилині 0. Скільки примірників поїздів у вас є?

— Tilefish Poele

1

Моделювання точно не імітує постановку проблеми. Зокрема, він не моделює "випадковий час", коли ви з'являєтесь на автовокзалі. Як такий, він втілює кілька нестандартних припущень щодо проблеми.

— whuber

2

@whuber це імітує фазу автобусів щодо мого приїзду на станцію

— Аксакал

4

$x$ $\frac{10-x}{10} \times \frac{15-x}{15}$ $0 \le x \le 10$ $\frac{35}9\approx 3.889$

$\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{6}$ $6$

— Генрі
джерело

3

@Dave добре, якщо підтримка невід'ємних реальних чисел.

— Ніл Г

3

@dave Йому не вистачає певних виправдань, але це правильне рішення, якщо ви припускаєте, що поїзди прибувають рівномірно (тобто встановлений графік із відомими постійними часом поїздів, але невідомим зміщенням). Він працює з будь-якою кількістю поїздів. Це тому, що очікуване значення негативної випадкової величини є інтегралом її функції виживання.

— Ніл Г

1

10

$10$

\frac{10 - x}{10}

$\frac{10-x}{10}$

0 \leq x \leq 10

$0 \le x \le 10$

5

$5$

λ = \frac{1}{10}

$\lambda=\frac1{10}$

e^{- λ x}

$e^{-\lambda x}$

0 \leq x < \infty

$0 \le x \lt \infty$

\frac{1}{λ} = 10

$\frac1\lambda=10$

1

0

$0$

3

+1 На даний момент це єдина відповідь, яка явно стосується її припущень. Усі інші роблять критичні припущення, не визнаючи їх.

— whuber

2

Я, мабуть, помиляюся, але припускаючи, що час початку руху кожного поїзда слідує рівномірного розподілу, я б сказав, що прибуваючи на станцію у випадковий час, очікуваний час очікування для:

$R$ $\mathbb{E}[R] = 5$
$B$ $\mathbb{E}[B] = 7.5$
$\mathbb{E}[\min(R,B)] =\frac{15}{10}(\mathbb{E}[B]-\mathbb{E}[R]) = \frac{15}{4} = 3.75$

Як зазначалося в коментарях, я розумів, що "обидва вони починаються з випадкового часу" як "два поїзди стартують в один і той же випадковий час". Що дуже обмежує припущення.

— підтримувати
джерело

1

Спасибі! Ви отримали правильну відповідь. Але 3. досі для мене не очевидно. Чи можете ви пояснити трохи більше?

— Shengjie Zhang

1

Це не правильна відповідь

— Аксакал

1

Я думаю, що підхід чудовий, але ваш третій крок не має сенсу.

— Ніл Г

2

Ця відповідь передбачає, що в якийсь момент червоні та сині поїзди прибувають одночасно: тобто вони перебувають у фазі. Інші відповіді передбачають інше припущення щодо етапу.

— whuber

2

Suppose that red and blue trains arrive on time according to schedule, with the red schedule beginning $\Delta$ minutes after the blue schedule, for some $0\le\Delta<10$ . For definiteness suppose the first blue train arrives at time $t=0$ .

Assume for now that $\Delta$ lies between $0$ and $5$ minutes. Between $t=0$ and $t=30$ minutes we'll see the following trains and interarrival times: blue train, $\Delta$ , red train, $10$ , red train, $5-\Delta$ , blue train, $\Delta + 5$ , red train, $10-\Delta$ , blue train. Then the schedule repeats, starting with that last blue train.

If $W_\Delta(t)$ denotes the waiting time for a passenger arriving at the station at time $t$ , then the plot of $W_\Delta(t)$ versus $t$ is piecewise linear, with each line segment decaying to zero with slope $-1$ . So the average wait time is the area from $0$ to $30$ of an array of triangles, divided by $30$ . This gives

\begin{aligned} {\bar{W}}_{Δ} & := \frac{1}{30} (\frac{1}{2} [Δ^{2} + 10^{2} + (5 - Δ)^{2} + (Δ + 5)^{2} + (10 - Δ)^{2}]) \\ = \frac{1}{30} (2 Δ^{2} - 10 Δ + 125) . \end{aligned}

$\begin{align}\bar W_\Delta &:= \frac1{30}\left(\frac12[\Delta^2+10^2+(5-\Delta)^2+(\Delta+5)^2+(10-\Delta)^2]\right)\\&=\frac1{30}(2\Delta^2-10\Delta+125). \end{align}$ Notice that in the above development there is a red train arriving

Δ + 5

$\Delta+5$ minutes after a blue train. Since the schedule repeats every 30 minutes, conclude

{\bar{W}}_{Δ} = {\bar{W}}_{Δ + 5}

$\bar W_\Delta=\bar W_{\Delta+5}$ , and it suffices to consider

0 \leq Δ < 5

$0\le\Delta<5$ .

If $\Delta$ is not constant, but instead a uniformly distributed random variable, we obtain an average average waiting time of

\frac{1}{5} \int_{Δ = 0}^{5} \frac{1}{30} (2 Δ^{2} - 10 Δ + 125) d Δ = \frac{35}{9} .

$\frac15\int_{\Delta=0}^5\frac1{30}(2\Delta^2-10\Delta+125)\,d\Delta=\frac{35}9.$

— grand_chat
джерело

2

This is a Poisson process. The red train arrives according to a Poisson distribution wIth rate parameter 6/hour.
The blue train also arrives according to a Poisson distribution with rate 4/hour. Red train arrivals and blue train arrivals are independent. Total number of train arrivals Is also Poisson with rate 10/hour. Since the sum of The time between train arrivals is exponential with mean 6 minutes. Since the exponential mean is the reciprocal of the Poisson rate parameter. Since the exponential distribution is memoryless, your expected wait time is 6 minutes.

— Alison
джерело

The Poisson is an assumption that was not specified by the OP. But some assumption like this is necessary. The logic is impeccable. +1 I like this solution.

— Michael R. Chernick

1

OP said specifically in comments that the process is not Poisson

— Aksakal