Якщо є кінцевим, то ?

Для безперервної випадкової величини $X$ , якщо $E(|X|)$ кінцева, $\lim_{n\to\infty}n P(|X|>n)=0$ ?

Це проблема, яку я знайшов в Інтернеті, але я не впевнений, тримається він чи ні.

Я знаю, що $n P(|X|>n)<E(|X|)$ дотримується нерівності Маркова, але я не можу показати, що він іде до 0, оскільки $n$ переходить до нескінченності.

probability expected-value probability-inequalities

— 456 123
джерело

(1) Неперервність не потрібна. (2) Висловіть очікування як інтеграл функції виживання

Pr (| X | > n)

$\Pr(|X|\gt n)$ . (3) Розглянемо контрастну позицію: що означатиме ненульова межа щодо очікування?

— whuber

@whuber приємна вправа! Я думаю, що маю правильну відповідь, але так як це виглядає self-study, я не думаю, що я повинен писати це тут. Чи можу я створити приватну кімнату чату і показати вам своє рішення, щоб ви могли мені сказати, чи правильно це?

— DeltaIV

@ Дельта Це випадок, коли розміщення вашої відповіді мені здасться прекрасним: в ОП є специфічне підзапитання і воно, здається, не просто для того, щоб шукати відповіді на домашнє завдання.

— whuber

@whuber це нагадує мені про відсутність рівномірного розподілу за натуральними числами - чи це означає, що хоча наступність тут не потрібна, чисельність адитивності є ?

— Білл Кларк

Відповіді:

Подивіться на послідовність випадкових змінних визначених збереженням лише великих значень:Зрозуміло, що , тому Зверніть увагу, що ідля кожного . Отже LHS (1) прагне до нуля за домінуючої конвергенції . $\{Y_n\}$ $|X|$

Y_{n} := | X | I (| X | > n) .

$Y_n:=|X|I(|X|>n).$

Y_{n} \geq n I (| X | > n)

$Y_n\ge nI(|X|>n)$

\begin{matrix} (1) & E (Y_{n}) \geq n P (| X | > n) . \end{matrix}

$E(Y_n)\ge nP(|X|>n).\tag1$

Y_{n} \to 0

$Y_n\to0$

| Y_{n} | \leq | X |

$|Y_n|\le |X|$

n

$n$

— grand_chat
джерело

Я думаю, ви маєте на увазі "RHS" у своєму останньому реченні, інакше хороша робота!

— jbowman

@jbowman, s / він означає за домінуючою теоремою конвергенції (зауважте, що лише недостатньо для досягнення цього висновку). Я додав посилання на DCT у wikipedia

E Y_{n} \to 0

$\mathbb{E}{Y_n} \to 0$

Y_{n} \to 0

$Y_n \to 0$

— P.Windridge

@ P.Windridge - Я не читав достатньо уважно і пов’язував "Так LHS" з рівнянням 1, а не з попереднім реченням. Моє ліжко.

— jbowman

Зауважимо, що - випадкова величина. в якому сенсі?

Y_{n}

$Y_n$

Y_{n} \to 0

$Y_n\rightarrow 0$

— YHH

@YHH Конвергенція точково: Для кожного , в .

ω

$\omega$

Y_{n} (ω) \to 0

$Y_n(\omega)\to0$

n \to \infty

$n\to\infty$

— grand_chat

Я можу надати відповідь на суцільну випадкову змінну (напевно, є більш загальна відповідь). Нехай: $Y=|X|$

E [Y] = \int_{0}^{\infty} y f_{Y} (y) d y = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + \int_{n}^{\infty} y f_{Y} (y) d y \geq \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n \int_{n}^{\infty} f_{Y} (y) d y = \dots + n (F_{Y} (\infty) - F_{Y} (n)) = \dots + n (1 - F_{Y} (n)) = \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n P (Y > n)

$\mathbb{E}[Y]=\int_0^\infty yf_Y(y)\text{d}y=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+\int_n^\infty yf_Y(y)\text{d}y\ge\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+n\int_n^\infty f_Y(y)\text{d}y=\dots+n\left(F_Y(\infty)-F_Y(n)\right)=\dots+n(1-F_Y(n))=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+nP(Y\gt n)$

Таким чином

0 \leq n P (Y > n) \leq (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y)

$0\leq nP(Y\gt n)\le\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)$

Тепер, оскільки за гіпотезою є кінцевим, ми маємо це $\mathbb{E}[Y]$

lim_{n \to \infty} (E [Y] - \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y) = E [Y] - lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} y f_{Y} (y) d y = E [Y] - E [Y] = 0

$\lim_{n\to \infty}\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)=\mathbb{E}[Y]-\lim_{n\to \infty}\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[Y]=0$

Тоді

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to \infty}nP(Y\gt n)=0$

за теоремою сендвіч.

— DeltaIV
джерело

@ P.Windridge, чи можете ви, будь ласка, переконатися, що також моє використання теорії конвергенції, що домінує, є правильним? У мене є кількість , яка не відмовляється, і не більша за величину, межа якої дорівнює 0, таким чином у моєму застосуванні теорема. Спасибі

n P (Y > n)

$nP(Y>n)$

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to\infty}nP(Y>n)=0$

— DeltaIV

@ DeltaIV - спочатку для уточнення " і означає " НЕ є домінуючою теоремою конвергенції (зазвичай її називають теоремою сендвіч).

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

$a_n \le b_n \le c_n$

a_{n}, c_{n} \to l

$a_n, c_n \to l$

b_{n} \to l

$b_n\to l$

— P.Windridge

@ DeltaIV- ні, вам не потрібен DCT, MCT достатньо (це включає можливість, що , але тоді ви не можете сказати !)

E Y = \infty

$\mathbb{E} Y = \infty$

E Y - E Y = \infty - \infty = 0

$\mathbb{E} Y -\mathbb{E} Y = \infty - \infty = 0$

— P.Windridge

Нема проблем. До речі, я знаю, що є кінцевим припущенням, я просто пояснював, де ви використовуєте це припущення (сам MCT не вимагає цього, на відміну від DCT, який використовував @grand_chat, і я сподіваюся, ви подивилися :)).

E [Y]

$E[Y]$

— P.Windridge

@ P.Windridge ах, добре! Я не помітив, що MCT не вимагає припущення. У мене був погляд на DCT, тому я вважав, що мені це не потрібно для доказів :) Я плачу ціну, що не навчався про інтеграцію Лебега в університеті ... З цієї причини я звик зробіть обчислення ймовірності з точки зору pdfs, а не з точки зору заходів.

— DeltaIV

$E\left | X \right |< \infty \Leftrightarrow E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\rightarrow 0$ (рівномірно інтегрується)

$E\left | X \right |=E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}+E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |\leq n}$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\leq E\left | X \right |< \infty$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\geq nE\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}=nP\left ( \left | X \right |>n\right )$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n} \rightarrow 0 \Rightarrow nP\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0 \Rightarrow P\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0$

тобто $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} P\left ( \left | X \right |>n\right )=0$

— Альдеху
джерело