Як оцінити точність інтеграла?

Надзвичайно поширена ситуація в комп'ютерній графіці полягає в тому, що колір деякого пікселя дорівнює інтегралу якоїсь функції з реальною цінністю. Часто функція занадто складна, щоб її вирішити аналітично, тому нам залишається числове наближення. Але функція також часто дуже дорога для обчислення, тому ми сильно обмежені у тому, скільки зразків ми можемо обчислити. (Наприклад, ви не можете просто вирішити взяти мільйон зразків і залишити це на цьому.)

Загалом, тоді, що ви хочете зробити, - це оцінити функцію у випадково вибраних точках, поки оцінений інтеграл не стане "досить точним". Що підводить мене до мого актуального питання: Як ви оцінюєте "точність" інтеграла?

Більш конкретно, у нас є , який реалізований за допомогою деяких складних, повільних комп'ютерних алгоритмів. Ми хочемо оцінити$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

Ми можемо обчислити для будь-якого ми бажаємо, але це дорого. Таким чином, ми хочемо вибрати кілька значень навмання і зупинитися, коли оцінка для стане прийнятно точною. Для цього, звичайно, ми повинні знати, наскільки точна поточна оцінка насправді.x x $f(x)$$x$$x$$k$

Я навіть не впевнений, які статистичні інструменти були б доречними для подібної проблеми. Але мені здається, що якщо ми абсолютно нічого не знаємо про , то проблема нерозв'язна. Наприклад, якщо ви обчислите в тисячу разів, і це завжди дорівнює нулю, ваш розрахунковий інтеграл буде дорівнює нулю. Але нічого не знаючи про , все-таки можливо, що скрізь, окрім балів, у яких ви трапили вибірку, тому ваша оцінка жахливо помилкова!f ( x ) f f ( x ) = 1 , 000 , $f$$f(x)$$f$$f(x) = 1,000,000$

Можливо, тоді моє запитання повинно було починатися з "що нам потрібно знати про щоб можна було оцінити точність нашого інтеграла$f$ ?" Наприклад, часто ми знаємо, що ніколи не може бути негативним, що може виявитися дуже актуальним фактом ...$f$

Редагувати: Гаразд, тому, здається, це створило багато відповідей, що добре. Замість того, щоб відповісти на кожен з них окремо, я спробую тут заповнити деякий додатковий фон.

Коли я кажу, що ми нічого не знаємо про , я маю на увазі, що ми можемо обчислити , але ми нічого не знаємо про це далі. Я би сподівався (а коментарі, мабуть, згодні), що більша кількість знань дозволяє нам використовувати кращі алгоритми. Здається, що корисність знань щодо та / або першої похідної буде корисною.f f $f$$f$$f$$f$

У більшості проблем, про які я замислююся, змінюється залежно від геометрії сцени та місця розташування в межах розглянутої сцени. Це не якийсь приємний, охайний фрагмент алгебри, який ви можете аналітично вирішити. Зазвичай являє собою інтенсивність світла. Очевидно, що інтенсивність світла ніколи не може бути негативною, але немає обмежень, наскільки великими можуть бути його позитивні значення. І нарешті, краї об'єктів зазвичай призводять до різких розривів у , і зазвичай ви не можете передбачити, де вони.f $f$$f$$f$

Коротше кажучи, проклятено нахабно, тому моїм першим портом дзвінка було запитати, що ми можемо з цим зробити, не даючи додаткової інформації. Здається, що, принаймні, трохи верхньої та нижньої межі, відповідь - це "не пекло багато" ... Так виглядає, що мені потрібно почати робити деякі припущення, щоб зробити будь-який пробіг тут.$f$

Крім того, враховуючи, скільки разів "Монте-Карло" з'явився, я гадаю, що це технічний термін для такого роду інтеграції?

Для простоти припустимо f (x)> = 0 для всіх x в [a, b], і ми знаємо M такий, що f (x) <M для всіх x в [a, b]. Інтеграл I f над [a, b] можна скласти у прямокутник із шириною ba та висотою M. Інтеграл f - частка прямокутника, що підпадає під функцію f, помножена на M (ba). Тепер, якщо ви вибираєте точки у прямокутнику навмання і вважаєте крапку успішною, якщо вона потрапляє під криву і як збій, інакше ви встановили пробу Бернуллі. Частка вибірки точок всередині є двочленною пропорцією і, отже, має середнє p та дисперсію p (1-p) / n, де n - кількість взятих балів. Отже, ви можете побудувати довірчий інтервал для p і оскільки I = p M (ba) довірчий інтервал для I також, оскільки для оцінки I ^ = p ^ M (ba), Var (I ^) = M (ba)2 2 2 2 $^2$$^2$p (1-p) / n. Отже, використовуючи статистику для визначення найменшого n, для якого інтеграл достатньо точний, ви можете вказати верхню межу S на дисперсії I ^. Примітка p (1-p) / n <= 1 / (4n) для кожного 0 <= p <= 1. Тому встановіть S = M (ba) / (4n) або n = найменше ціле число> M (ba) / (4S).$^2$$^2$$^2$$^2$

$f$

Додатковим читанням до цього, звичайно, була б монографія Нідеррейтера (1992) .