Помилка в оцінці розміру набору?

Припустимо, у нас є множина A і підмножина B. Якщо ми знаємо | A |, то можемо обчислити | B | знайшовши ймовірність p, що елемент, вибраний рівномірно з A, належить до B. Зокрема | A | p = | B |.

Припустимо, ми генеруємо n елементів A рівномірно і використовуємо ці дані для оцінки p (кількість елементів у B, поділене на n) і, отже, оцінки | B |.

Наскільки достовірна ця оцінка? Тобто як ми можемо обчислити помилку?

Як побічне запитання, чи існує назва цієї методики? (здається, це математична версія техніки маркування та відновлення )

Ви оцінюєте пропорції. Для конкретності, уявіть, що А - це кількість виборців, а В - сукупність виборців, які голосують за конкретного кандидата. Таким чином, p був би відсоток виборців, які проголосували б за цього кандидата. Дозволяє:

$\pi$ - справжній відсоток людей, які проголосували б за кандидата

Іншими словами:

$\pi = \frac{|B|}{|A|}$

Тоді кожен з ваших зразків - це випробування в Бернуллі з вірогідністю або рівнозначно, ви можете уявити, що кожен з ваших зразків - це опитування потенційних виборців, запитуючи їх, чи буде вони голосувати за кандидата. Таким чином, MLE задається:$\pi$$\pi$

$p = \frac{n_B}{n}$

де

$n_B$ - кількість людей, які сказали, що проголосують за кандидата, або кількість елементів, що належать до набору B у вашій вибірці розміру .$n$

Стандартна помилка для вашої оцінки:

$\sqrt{\frac{\pi (1-\pi)}{n}}$

Вищенаведене можна наблизити, використовуючи MLE для тобто:$\pi$

$\sqrt{\frac{p (1-p)}{n}}$