Чому Т-статистиці потрібні дані для нормального розподілу

Я дивився на цей зошит , і мене дивує це твердження:

Коли ми говоримо про нормальність, то ми маємо на увазі, що дані повинні виглядати як звичайний розподіл. Це важливо, оскільки на цьому покладаються кілька статистичних тестів (наприклад, t-статистика).

Я не розумію, навіщо T-статистиці потрібні дані для нормального розподілу.

Дійсно, Вікіпедія говорить те саме:

Т-розподіл студента (або просто t-розподіл) - це будь-який член сімейства безперервних розподілів ймовірностей, який виникає при оцінці середнього значення нормально розподіленого населення

Однак я не розумію, чому це припущення є необхідним.

Ніщо з його формули не вказує на те, що дані повинні слідувати нормальному розподілу:

Я трохи роздивився його визначення, але не розумію, чому така умова необхідна.

Інформація, яка вам потрібна, знаходиться у розділі "Характеристика" сторінки Вікі . -розподіл з ступенями свободи може бути визначена як розподіл випадкової величини таким чином, що де являє собою стандартний нормальний розподіл випадкова величина і - випадкова величина зі ступенями свободи . Крім того, і повинні бути незалежними. Отже, з огляду на будь-які і які відповідають наведеному вище визначенню, ви можете дійти до випадкової величини, яка має a$t$$\nu$$T$

$$T = \dfrac{Z}{\sqrt{V/\nu}} \,,$$ $Z$$V$$\chi^2$$\nu$$Z$$V$$Z$$V$$t$ -розподіл.

Тепер припустимо$X_1, X_2, \dots, X_n$ розподіляється в відповідно до розподілу . Нехай F має середнє μ та дисперсію σ 2 . Нехай ˉ X - середня вибірка, а S 2 - дисперсія вибірки. Потім ми розглянемо формули:$F$$F$$\mu$$\sigma^2$$\bar{X}$$S^2$

$$\dfrac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} = \dfrac{\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{(n-1)\sigma^2}}} \,.$$

$F$$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$$\bar{X}$$S^2$$t$$n-1$

$F$$\chi^2$$t$

Я думаю, що може стати деяка плутанина між статистикою та її формулою, порівняно з розподілом та його формулою. Ви можете застосувати формулу t-статистики до будь-якого набору даних і отримати "t-статистику", але ця статистика не поширюватиметься відповідно до розподілу студент-t, якщо дані, отримані з звичайного розподілу (або, принаймні, не будуть гарантовано, є; я здогадуюсь, що ненормальні розподіли не дають розподілу студента-t, коли застосовується t-статистична формула, але я не впевнений у цьому). Причиною цього є просто те, що розподіл t-статистики обчислюється з розподілу даних, які його генерували, тому якщо у вас інший базовий розподіл, то вам не гарантується той самий розподіл для отриманих статистичних даних.