Якщо я генерую випадкову симетричну матрицю, то який шанс це визначено позитивно?

У мене виникло дивне запитання, коли я експериментував з деякими опуклими оптимізаціями. Питання:

Припустимо, я випадковим чином (скажімо, звичайний нормальний розподіл) генерує симетричну матрицю (наприклад, я генерую верхню трикутну матрицю і заповнюю нижню половину, щоб переконатися, що вона симетрична), який шанс це є позитивним матриця? Чи є можливість обчислити ймовірність? $N \times N$

— Хайтао Ду
джерело

Спробуйте моделювання ...

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen спасибі, але мені цікаво, який шанс у всіх власних значень більше 0, чи ми можемо навіть зробити це аналітично.

— Haitao Du

Відповідь залежить від того, як ви генеруєте матрицю. Наприклад, один спосіб генерує реальних власних значень відповідно до деякого розподілу, а потім кон'югує цю діагональну матрицю випадковою ортогональною матрицею. Результат буде позитивним певним лише тоді, якщо всі ці власні значення будуть позитивними. Якщо ви повинні генерувати власні значення незалежно відповідно до розподілу, симетричного приблизно нулю , то такий шанс, очевидно, становить щонайбільше . Щоб створити матрицю PD, тоді добре виберіть власні значення! (Для швидкої роботи я створюю такі матриці, як коваріації багатоваріантних нормальних даних.)

n

$n$

2^{- n}

$2^{-n}$

— whuber

Не відповідь на поставлене запитання, але зауважте, що якщо спочатку моделювати матрицю з кожним входом в норму та однакові розміри , то є симетричним і позитивно визначеним з вірогідністю 1.

L

$L$

N

$N$

N = L L^{T}

$N = LL^T$

— Кліф АВ

Якщо ваші матриці із стандартних стандартних ідентифікаційних записів, ймовірність бути позитивно визначеною приблизно , так, наприклад, якщо , шанс становить 1/1000, і знижується досить швидко після цього. Ви можете знайти розширене обговорення цього питання тут . $p_N\approx 3^{-N^2/4}$ $N=5$

Ви можете дещо інтуїтизувати цю відповідь, прийнявши, що розподіл власного значення вашої матриці буде приблизно півкругом Вігнера , який симетричний приблизно нулю. Якби власні значення були незалежними, ви мали б шанс позитивної визначеності за цією логікою. Насправді ви отримуєте поведінку , як завдяки кореляціям власних значень, так і законам, що регулюють великі відхилення власних значень, зокрема найменших та найбільших. Зокрема, випадкові власні значення дуже схожі на заряджені частинки, і не люблять бути близько один до одного, отже, вони відштовхуються одна від одної (як не дивно, з тим же потенційним полем, що і заряджені частинки, , де $(1/2)^N$ $N^2$ $\propto 1/r$ $r$ - відстань між сусідніми власними значеннями). Тому просити їх бути позитивними було б дуже високим запитом.

Крім того, через закони універсальності в теорії випадкових матриць я сильно підозрюю, що вищезгадана ймовірність , ймовірно, буде однаковою для по суті будь-якої "розумної" випадкової матриці, із записами iid, які мають кінцеве середнє та стандартне відхилення. $p_N$

— Алекс Р.
джерело

Приємно знати, що це дуже низько. Тому я не буду використовувати вибірку відхилень для створення матриці SPD у майбутньому.

— Хайтао Ду

@ hxd1011: якщо ви намагаєтеся вибірки матриць SPD, я пропоную метод, який я описав у коментарях вище. Крім того, може бути корисним ознайомитися з розкладами Чолеського

— Кліф АВ

@CliffAB дякую. Я зазвичай матрицю SPD-матриці форми коваріації деяких даних або з аналогічного тому, що ви запропонували. У мене був час, коли я намагався вручну поставити деякі числа в малу матрицю, сказати і сподіваюся, що це матриця PD.

A^{'} A

$A'A$

2 \times 2

$2 \times 2$

— Haitao Du