Умовні ймовірності - чи властиві вони байєсіанству?

Цікаво, чи умовні ймовірності характерні лише для байєсіанства, чи вони є більш загальною концепцією, яка поділяється серед кількох шкіл думки серед людей статистики / ймовірності.

Я начебто припускаю, що це так, тому що я припускаю, що ніхто не може виглядати логічно, тому я думаю, що часто лікарі теоретично погоджуються, застерігаючи проти Байесяна висновок більше з практичних причин, а не через умовні ймовірності.$p(A,B) = p(A|B)p(B)$

Щоб скласти інші та абсолютно адекватні відповіді, приклади моделей умовної ймовірності мають багато лінійних та узагальнених лінійних моделей, оскільки визначення таких моделей залежить від регресорів чи коваріатів:

$$Y|X \sim f(y;g(X^\text{T}\beta),\sigma)$$

А поняття умовного розподілу ймовірностей визначено в теорії мір, без посилання на статистику і ще менше на "байєсіанство". Наприклад, Реній побудував теорію ймовірностей з умовних версій. Зауважимо також, що у формальній теорії міри обумовлення стосується -field а не події. Умовне математичне сподівання є те вимірна функція така , що для всіх вимірних функцій . (Як це проілюстровано концепцією мартингалів$\sigma$$\mathfrak{S}$ $\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]$$\mathfrak{S}$

$$\mathbb{E}^{\mathfrak{S}}\{[X-\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]Z\}=0$$ $\mathfrak{S}$$Z$.)

Як і у всіх теоріях ймовірностей , умовна ймовірність не має нічого спільного з баєсівською та частою статистичною статистикою. Навіть теорема Байєса не є «баєсівською», а є загальною теоремою про ймовірність, наприклад, вона може бути використана для корекції ймовірностей для базової ставки , без будь-яких пріорів, або суб'єктивна байєсівська інтерпретація ймовірності .

Якщо ви запитуєте "яка ймовірність отримати роботу інженера бази даних, враховуючи, що ви жінка?", Або "яка ймовірність того, що у вас є ВІЛ, враховуючи, що тест Вестерн-блот був позитивним?", Тоді ви запитуєте про умовний ймовірності. Логістичні регресійні моделі умовної ймовірності тощо.

Дивіться також: Чи існує якась * математична * основа для байесівських та частофілістських дебатів? і Баєсові проти частістських інтерпретацій ймовірності

Часті методи використовують також умовні ймовірності. Значення р - це умовна ймовірність. Єдине питання полягає в тому, що це не дуже корисна чи інтуїтивна умовна ймовірність. Якщо ми обчислимо коефіцієнт кореляції, і наша машина вип'є "p = .03", це насправді говорить:

$p(D^*|H_0) = .03$

Якщо посилається на спостережувані дані або більш екстремальні дані (тобто дані, які виробляють спостережуваний результат або результат, сильніший в тому ж напрямку), а - це нульова гіпотеза (і всі припущення, що йдуть разом з нею).$D^*$$H_0$

В залежності від нульової гіпотези ймовірність спостереження наших даних або більш екстремальних даних становить .03. Це умовна ймовірність, повністю відсутня теорему Байєса. Це, на мою думку, зазвичай не настільки корисно (якщо тільки ви з певних чи інших причин не намагаєтесь отримати таку ймовірність).

Я не думаю, що справедливо говорити, що умовні ймовірності властиві лише байєсіанству.

(Експерти з теорії вимірювання, будь ласка, не соромтеся мене виправити.)

Один із способів можна побачити умовну ймовірність - особливо коли ви маєте однакові ймовірні результати - базує свій розрахунок ймовірності на підмножині , де - пробний простір.$\Omega^{\prime} \subset \Omega$$\Omega$

Наприклад, врахуйте деякі фіктивні дані, зібрані (NB: у нас немає "попередньої" інформації) в опитуванні:

$$\begin{array}{|l|c|c|} \hline & \text{Male} & \text{Female} \\ \hline \text{Owns a TV} & 75 & 72 \\ \text{Does not own a TV} & 25 & 28 \\ \hline \end{array}$$ Припустимо, що ймовірність вибору будь-якої особи, що опитувалася вище, однаково вірогідна. Розглянемо пробний простір всіх опитаних людей і нехай , де - не порожній -алгебра підмножини .$\Omega$$\mathbb{P} : \mathcal{A} \to [0, 1]$$\mathcal{A}$$\sigma$$\Omega$

За визначенням не менш вірогідної події для будь-якої події , депозначає встановлену кардинальність.$A \in \mathcal{A}$

$$\mathbb{P}(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$$ $|\cdot|$

Якби нас зацікавила, скажімо, ймовірність володіння телевізором з огляду на те, що ти жінка, якщо - це подія бути жінкою, а - подією власника телевізора, ми би обчислили ймовірність як , і ми лікуємо в нашому новому вибірковому просторі . Але зауважте, що ми можемо записати Це саме визначення умовної ймовірності і не використовує теорему Байєса. Все, що ми робимо, - обмежити пробний простір.$A$$B$

$$\dfrac{|A \cap B|}{|A|}$$ $A$$\Omega^{\prime} = A$ $$\dfrac{|A \cap B|}{|A|} = \dfrac{|A \cap B|/|\Omega|}{|A|/|\Omega|} = \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)}$$

Я трохи запізнююся на цю конкретну партію, але я подумав, що додам більше філософської відповіді на інші чудові відповіді тут, якщо це може бути корисним для майбутніх пошуків.

Якщо ви гіпотетичний частіст, то визначення умовної ймовірності випливає із граничного закону поділу. , нехай - кількість разів, коли є істинним у випробуваннях, і - кількість разів, коли є правдивим у випробуваннях. Визначимо і Нарешті, нехай є часткою часу, коли вірно, що і є правдою, у нескінченній межі: $f_N (A \land E)$$A\land E$$N$$f_N (E)$$E$$N$

$$p(A\land E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{N}$$ $$p (E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (E)}{ N}$$ $p(A | E )$$E$$A$ $$p (A | E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{f_N (E)}$$ Припустимо, не дорівнює нулю, маємо $p(E)$ $$p (A | E) = \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)/ N}{f_N (E)/N} = \frac{\lim_{N\to \infty} f_N (A\land E) / N}{\lim_{N\to \infty} f_N (E)/ N } = \frac{p(A\land E)}{p(E)}.$$