Чи є теорія ймовірності вивчення негативних функцій, які інтегруються / сумуються до одиниці?

26

Це, мабуть, нерозумне питання, але чи теорія ймовірності - це вивчення функцій, які інтегруються / збиваються в одну?

EDIT. Я забув негативність. Тож чи є теорія ймовірності вивчення негативних функцій, які інтегруються / сумуються до однієї?

probability mathematical-statistics measure-theory

— dontloo
джерело

Так, ймовірності завжди дорівнюють одиниці. З іншого боку, ймовірності не мають цього обмеження.

— Майк Хантер

2

Єдиний розумний відповідь на заявлене запитання - ні, в останню чергу тому, що існує багато функцій які інтегруються в 1, але для яких не може представляти ймовірності для деяких і . Наприклад, розглянемо функцію, яка становить 1,5 між 0 і 1 і -0,5 між 1 і 2, а 0 всюди в іншому місці. (але, мабуть, і «ні» з інших причин)

f

$f$

\int_{a}^{b} f (u) d u

$\int_{a}^b f(u) du$

a

$a$

b

$b$

— Glen_b -Встановити Моніку

2

Пов’язано: stats.stackexchange.com/questions/214485/…

— Ільмарі Каронен

1

Існують серйозні документи з негативною ймовірністю, наприклад, Моріс С. Бартлетт. doi.org/10.1017/S0305004100022398

— Нік Кокс

2

@dontloo те, на що я мав на меті, зараз досить добре висвітлено цитату Дао у відповіді Чакон.

— Glen_b -Встановіть Моніку

31

На суто формальному рівні можна назвати теорію ймовірностей вивчення просторів мір із загальною мірою одиниці, але це було б як називати теорію чисел вивченням рядків цифр, які закінчуються

- з Теми Террі Тао в теорії випадкових матриць .

Я думаю, це справді принципова річ. Якщо у нас є простір ймовірностей та випадкова величина з мірою висування , то причина щільності $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X : \Omega \to \mathbb R$ $P_X := P \circ X^{-1}$ інтегрується до одиниці тому, що. І це більш фундаментально, ніж pdfs vs pmfs. $f = \frac{\text d P_X}{\text d\mu}$ $P(\Omega) = 1$

Ось доказ:

\int_{R} f d μ = \int_{R} d P_{X} = P_{X} (R) = P ({ω \in Ω : X (ω) \in R}) = P (Ω) = 1.

$\int_{\mathbb R} f \,\text d\mu = \int_{\mathbb R} \,\text dP_X = P_X(\mathbb R) = P\left(\{\omega \in \Omega : X(\omega) \in \mathbb R\}\right) = P(\Omega) = 1.$

Це майже перефразування відповіді Адамо (+1), тому що всі CDF є cddlàg, а між набором CDF на та набором усіх імовірнісних заходів на існує співвідношення «один на один» , але оскільки CDF RV визначається з точки зору його розподілу, я розглядаю ймовірнісні простори як місце для "початку" з подібного роду починання. $\mathbb R$ $(\mathbb R, \mathbb B)$

Я вдосконалюю детальну інформацію про відповідність між показниками ФДВ та мірою ймовірності та про те, як обидва є розумними відповідями на це питання.

Почнемо з початку двох заходів ймовірності та аналізу відповідних CDF. Ми закінчуємо, замість цього, починаючи з CDF і дивимось на міру, викликану ним.

Нехай і - міри ймовірності на і і - їх відповідні CDF (тобто і аналогічно ). і обидва означатимуть просувальні заходи випадкових змінних (тобто розподілів), але насправді не має значення, звідки вони взялися для цього. $Q$ $R$ $(\mathbb R, \mathbb B)$ $F_Q$ $F_R$ $F_Q(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$ $R$ $Q$ $R$

Ключова ідея така: якщо і домовляються про достатньо багату колекцію множин, то вони погоджуються на -алгебру, породжену цими множинами. Інтуїтивно зрозуміло, що якщо у нас є добре сприйнята колекція подій, яка через чисельну кількість доповнень, перехресть та об'єднань утворює всю , то узгодження всіх цих наборів не залишає місця для хитання для будь-якого набору Borel. $Q$ $R$ $\sigma$ $\mathbb B$

Давайте формалізуємо це. Нехай і нехай , тобто є підмножиною на якій і Зверніть увагу, що ми дозволяємо їм погоджуватися щодо не-Borel-наборів, оскільки як визначено, не обов'язково є підмножиною $\mathscr S = \{(-\infty, a] : a \in \mathbb R\}$ $\mathcal L = \{A \subseteq \mathbb R : Q(A) = R(A)\}$ $\mathcal L$ $\mathcal P(\mathbb R)$ $Q$ $R$ $\mathcal L$ . Наша мета полягаєщоб показатищо . $\mathbb B$ $\mathbb B \subseteq \mathcal L$

Виявляється, ( -алгебра, породжена ) насправді є , тому ми сподіваємось, що є достатньо великою сукупністю подій, що якщо скрізь на вони змушені бути рівними на все . $\sigma(\mathscr S)$ $\sigma$ $\mathscr S$ $\mathbb B$ $\mathscr S$ $Q = R$ $\mathscr S$ $\mathbb B$

Зауважимо, що закритий у кінцевих перетинах, а закритий під доповненнями та перелічуючими непересічними перетинами (це випливає із -придатності). Це означає, що є -системою, а - -системою . До - теорема тому ми маємо , що . Елементи $\mathscr S$ $\mathcal L$ $\sigma$ $\mathscr S$ $\pi$ $\mathcal L$ $\lambda$ $\pi$ $\lambda$ $\sigma(S) = \mathbb B \subseteq \mathcal L$ $\mathscr S$ ніде не є настільки складним, як довільна множина Бореля, а тому будь-яка множина Бореля може бути сформована з підрахункової кількості комплементів, об'єднань та перетинів елементів , якщо між і не існує жодної суперечності між елементами , то за цим піде до так як немає ніяких розбіжностей з будь-якого . $\mathscr S$ $Q$ $R$ $\mathscr S$ $B \in \mathbb B$

Ми щойно показали, що якщо то (на ), це означає, що карта від до є ін’єкцією. $F_Q = F_R$ $Q = R$ $\mathbb B$ $Q \mapsto F_Q$ $\mathscr P := \{P : P \text { is a probability measure on } (\mathbb R, \mathbb B)\}$ $\mathcal F := \{F : \mathbb R \to \mathbb R : F \text { is a CDF}\}$

Тепер, якщо ми хочемо подумати про інший напрямок, ми хочемо почати з CDF і показати, що існує унікальна міра ймовірності така, що . Це встановить що наше відображення насправді є біекцією. Для цього напрямку ми визначаємо без будь-якого посилання на ймовірність чи заходи. $F$ $Q$ $F(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$ $Q \mapsto F_Q$ $F$

Спочатку визначимо функцію вимірювання Stieltjes як функцію таку, що $G : \mathbb R \to \mathbb R$

не зменшується $G$
право-безперервний $G$

(і зауважте, як бути càdlàg випливає з цього визначення, але через додаткове не зменшується обмеження "більшість" функцій cddlàg не є функціями вимірювання Stieltjes).

Можна показати , що кожен стільтьесовскіе функціонувати індукує єдину міру на , визначеної (дивіться , наприклад , ймовірність і випадкові процеси Durrett в для деталей Наприклад, міра Лебега індукується . $G$ $\mu$ $(\mathbb R, \mathbb B)$

μ ((a, b]) = G (b) - G (a)

$\mu\left((a, b]\right) = G(b) - G(a)$

G (x) = x

$G(x) = x$

Тепер зауваживши, що CDF - функція Stieltjes з додатковими властивостями, які і , ми можемо застосувати цей результат, щоб показати, що для кожного CDF ми отримуємо унікальну міру на $F$ $\lim_{x\to-\infty} F(x) := F(-\infty) = 0$ $\lim_{x\to\infty} F(x) := F(\infty) = 1$ $F$ $Q$ $(\mathbb R, \mathbb B)$ визначається

Q ((a, b]) = F (b) - F (a) .

$Q\left((a, b]\right) = F(b) - F(a).$

Зверніть увагу, як і тож є мірою ймовірності і саме такий, який ми використали б для визначення $Q\left((-\infty, a]\right) = F(a) - F(-\infty) = F(a)$ $Q\left((-\infty, -\infty]\right) = F(\infty) - F(-\infty) = 1$ $Q$ $F$ якби ми йшли в інший бік.

Всі разом ми вже бачили , що відображення 1-1 і на так що ми дійсно маємо взаємно однозначне відповідність між і . Повертаючи це до фактичного питання, це свідчить про те, що ми можемо в рівній мірі затримувати або CDF, або ймовірнісні заходи як наш об'єкт, про який ми оголосимо ймовірність дослідження (при цьому також визнаючи, що це дещо грамотне починання). Я особисто все ще віддаю перевагу просторам імовірностей, тому що мені здається, що теорія більш природно протікає в цьому напрямку, але CDF не "помиляються". $Q \mapsto F_Q$ $\mathscr P$ $\mathcal F$

— jld
джерело

3

+1 для ширшої точки зору з цього питання; Ви правильно зазначаєте, що функціональний простір кадрового функціонування Скорохода є лише сучасним уявленням про те, що передбачає теорія ймовірностей, кардинально відрізняється від відкриттів Бореля, а Скороход відкриває лише близько 40 років. Хто знає, що може розкрити наступне століття?

— AdamO

1

@AdamO абсолютно, і є більш дивні, такі як неархімедівська ймовірність, де навіть якщо вони ніколи не стають домінуючим поглядом (і наскільки мені відомо, ніхто не намагається це зробити), я вважаю, що вони допомагають мені краще зрозуміти стандартну формулювання ( наприклад, наскільки серйозною є

— залежність

Я прочитав назву питання і подумав цю цитату з Теренса Дао; напевно, прочитав його років тому ( 2010 ), але це справді запам'ятовується. Як він продовжує говорити: На практичному рівні відбувається навпаки ...

— ShreevatsaR

Дивіться мій коментар до питання: як альтернативні теорії ймовірності, такі як Байесія (і Демпстер-Шафер та Модель перехідної віри та Теорія Дезерта-Смарандаша), неточні ймовірності, теорія правдоподібності тощо, стосуються цього питання та обговорення?

— Е. Дуглас Йенсен

@ E.DouglasJensen Я не впевнений, я звертаюся до цього з точки зору стандартних аксіом Колмогорова, тому в цьому контексті я думаю, що моя відповідь "правильна", але якщо ми змінимо аксіоми, то, гадаю, всі ставки відключені . Також я зовсім не філософський з цього приводу, тому якщо ми намагаємось будь-яким чином пов’язати це з реальним світом, наприклад, із запитаннями на кшталт "яка ймовірність того, що сонце зійде", то я впевнений, що це потрапить більш складний. Тим не менш, здається, що досить безпечна ставка, що ймовірність того, що "що-небудь" стане, - це максимальне значення (ймовірно,

) і що в цьому немає ніякої невизначеності

1

$1$

— jld

12

Ні; розподіл Кантор є саме такою контрприклад. Це випадкова величина, але вона не має щільності. Однак вона має функцію розподілу. Отже, я б сказав, що теорія ймовірностей - це вивчення функцій cddlàg , включаючи коефіцієнт DF Cantor, які мають ліву межу 0 та праву межу 1.

— АдамО
джерело

Приємно, я ніколи не чув про функції кадрала. Однак вони все ж припускають реальний і метричний простір. Не всі теорії ймовірностей зроблені на таких просторах.

— HRSE

1

Ви можете, наприклад, повернутися до «Терренса Файна», «Теорії ймовірності». Також зауважте, що функції cadlag (принаймні відповідно до статті wikipedia) мають справжні числа як домен. У «Основах статистики» Л. Дж. Сайджеса викладено (суб’єктивна) теорія ймовірностей на просторах, які не обов'язково реальні.

— ВРСЕ

1

@jwg Деякі інші коментарі до цієї публікації адресують негативну ймовірність, яка, здається, є корисною у квантовій фізиці, хоча мій простий розум не може зрозуміти такого.

— АдамО

1

@HRSE дякую за посилання. Я не зміг знайти жодного з них в Інтернеті, але я сховав деякі інші документи цих авторів, хоча я не знайшов прикладів цього. Якщо ми визначаємо випадкову величину

як

то CDF визначається з точки зору прогресивної міри

(а не міра

на

) і оскільки

реально оцінюється

обов'язково є мірою на

X

$X$

X : Ω \to R^{n}

$X : \Omega \to \mathbb R^n$

P_{X} := P \circ X^{- 1}

$P_X := P \circ X^{-1}$

P

$P$

(Ω, F)

$(\Omega, \mathscr F)$

X

$X$

P_{X}

$P_X$

який означаєми можемо годувати його встановлюєяк

так

має

. У своїй області я пропускаю щото?

(R^{n}, B^{n})

$(\mathbb R^n, \mathbb B^n)$

(- \infty, a]

$(-\infty, a]$

F

$F$

R^{n}

$\mathbb R^n$

— JLD

1

Я думаю, що добре впорядкований означає, що кожен підмножина має найменший елемент, тоді як повністю впорядкований засіб для всіх

і

, точно один з

,

, або

має значення, так що

- це обидва,

просто повністю впорядкований, і

- це не те. Нам абсолютно потрібно помножувати та додавати ймовірності, так що принаймні кодомен

повинен бути полем, але я не думаю, що він має

x

$x$

y

$y$

x < y

$x<y$

x > y

$x>y$

x = y

$x=y$

N

$\mathbb N$

R

$\mathbb R$

C

$\mathbb C$

P

$P$ бути повністю замовленим або повним. Комплексні оціночні заходи є прикладом першого, а гіперреалізовані заходи є прикладом другого. Все це - метричні простори, хоча (або можуть бути)

— jld

6

Я впевнений, що ви отримаєте хороші відповіді, але дам вам трохи іншу точку зору.

Можливо, ви чули математиків, які говорять про те, що фізика в значній мірі є математикою або просто застосуванням математики до основних основних законів природи. Деякі математики (багато?) Насправді вважають, що це так. Я чув це знову і знову в університеті. У цьому плані ви задаєте подібне запитання, але не таке широке, як це.

Фізик зазвичай не турбується навіть реагуючи на це твердження: їм занадто очевидно, що це неправда. Однак якщо ви спробуєте відповісти, стає зрозуміло, що відповідь не настільки тривіальна, якщо ви хочете зробити її переконливою.

Моя відповідь полягає в тому, що фізика - це не лише купа моделей та рівнянь та теорій. Це поле з власним набором підходів та інструментів, евристики та способів мислення. Це одна з причин, чому, хоча Пуанкаре розробив теорію відносності до Ейнштейна, він не усвідомив усіх наслідків і не прагнув залучити всіх до себе. Ейнштейн так і зробив, бо був фізиком, і одразу зрозумів, що це означає. Я не фанат хлопця, але його робота над броунівським рухом - ще один приклад того, як фізик будує математичну модель. Цей папір дивовижний і наповнений інтуїцією та слідами мислення, які безпомилково ставляться до фізики.

Отже, моя відповідь до вас полягає в тому, що навіть якби ймовірність стосувалася виду описаних вами функцій, все одно не було б вивчення цих функцій. Також це не теорія мір, яка застосовується до певного підкласу заходів. Теорія ймовірностей - це окреме поле, яке вивчає ймовірності, воно пов'язане з природним світом за допомогою радіоактивного розпаду та квантової механіки та газів і т.д. властивості теж, але поки це робимо, ми будемо стежити за головним призом - ймовірностями.

— Аксакал
джерело

1

+1 за притягнення реальності до математичної сутички та фактично відповіді на питання єдиною розумною відповіддю, тобто будь-який подібний редукціонізм не

— вистачає сутності

@Chaconne Я сьогодні навчився корисного слова редукціонізму , включив його до свого словника :)

— Aksakal

+1, це я намагався сказати своєю відповіддю, але я сказав це менш ефективно, ніж ви думаєте.

— Натаніел

4

Ну, частково правда, їй не вистачає другої умови. Негативні ймовірності не мають сенсу. Отже, ці функції повинні задовольняти двом умовам:

Постійні розподіли:
$\int_{D} f (x) d x = 1 and f (x) > 0 \forall x \in D$ $\int_{\mathcal{D}}f(x) dx = 1 \quad \text{and} \quad f(x)>0 \; \forall x \in \mathcal{D}$
Дискретні розподіли:
$\sum_{x \in D} P (x) = 1 and 0 < P (x) \leq 1 \forall x \in D$ $\sum_{x \in \mathcal{D}}P(x) = 1 \quad \text{and} \quad 0<P(x) \leq 1 \; \forall x \in \mathcal{D}$

Де - область, де визначено розподіл ймовірностей. $\mathcal{D}$

— Карлос Кампос
джерело

Дякую Карлосу за відповідь, насправді я хочу знати, що робити, якщо була додана негативна умова?

— dontloo

1

Я б сказав, що зменшення поля ймовірності для вивчення функцій щільності / маси ймовірностей (що виконують верхні властивості) є надто голим. Більше того, як зазначає @AdamO, є деякі випадкові випадкові величини, які не мають функції щільності ймовірності, хоча вони мають чітко визначений cdf.

— Карлос Кампос

@CarlosCampos: Щодо негативних ймовірностей: вони насправді мають сенс у деяких контекстах, наприклад, напівмонети. Для отримання додаткової інформації див. En.wikipedia.org/wiki/Negative_probability .

— Інкане

3

Я б сказав, що ні, це не принципова теорія ймовірностей, але я б сказав це з інших причин, ніж інші відповіді.

В принципі, я б сказав, теорія ймовірностей - це вивчення двох речей:

Стохастичні процеси та
Байєсівські умовиводи.

Стохастичні процеси включають такі речі, як кочення кісток, малювання кульок з урн тощо, а також більш складні моделі, знайдені з фізики та математики. Байєсівський висновок міркує за невизначеністю, використовуючи ймовірності для відображення значення невідомих величин.

Ці дві речі тісніше пов'язані, ніж могли здатися спочатку. Однією з причин того, що ми можемо вивчити їх під однією парасолькою, є те, що важливі аспекти обох можуть бути представлені як негативні функції, які підсумовують / інтегруються в одну. Але ймовірність - це не лише вивчення цих функцій - важливою її частиною є також інтерпретація з точки зору випадкових процесів та умовиводів.

Наприклад, теорія ймовірностей включає такі поняття, як умовні ймовірності та випадкові величини, та величини, такі як ентропія, взаємна інформація та очікування та дисперсія випадкових величин. Хоча можна було б визначити ці речі суто з точки зору нормалізованих негативних функцій, мотивація цього здавалася б досить дивною без тлумачення термінів випадкових процесів та умовиводу.

Більше того, іноді трапляються поняття в теорії ймовірностей, особливо з боку висновку, що не може бути виражене через негативну функцію, яка нормалізується до однієї. Тут приходять в голову так звані "неналежні пріорі", і AdamO подав розподіл Кантора як інший приклад.

Звичайно, є деякі області теорії ймовірностей, в яких головний інтерес викликають математичні властивості нормалізованих негативних функцій, для яких дві області застосування, які я згадав, не є важливими. У цьому випадку ми часто називаємо це теорією вимірювань, а не теорією ймовірностей. Але теорія ймовірностей також - справді, я б сказав, здебільшого - прикладне поле, і застосування ймовірнісних розподілів самі по собі є нетривіальною складовою поля.

— Натаніел
джерело

2

Ви зробили область тем із теорії ймовірностей досить вузькою ...

— Тім

@Tim не за призначенням - я розділив його на дві області, але призначив, що кожну з них слід інтерпретувати дуже широко. Чи можете ви дати мені ще якісь теми, які не входять ні в одну рубрику?

— Натаніел