Чи можна тест Мантеля поширити на асиметричні матриці?

Тест Мантеля зазвичай застосовується для симетричних матриць відстані / різниці. Наскільки я розумію, припущення тесту полягає в тому, що міра, яка використовується для визначення різниць, повинна бути принаймні напівметричною (відповідати стандартним вимогам метрики, а не нерівності трикутника).

Чи можна припущення про симетрію послабити (даючи попередню метрику)? Чи можливо застосувати тест на перестановку в цьому випадку, використовуючи повну матрицю?

Його не потрібно продовжувати. Оригінальний тест Мантеля, представлений на папері Мантеля 1967 року , передбачає асиметричні матриці. Нагадаємо , що цей тест порівнює два відстані матриць X і Y .$n\times n$$X$$Y$

Наразі ми можемо передбачити модифікацію нашої статистики, яка спростить статистичні процедури, які будуть розроблені нижче. Модифікація полягає в тому, щоб видалити обмеження , а замінити його лише обмеженням i ≠ j . Там, де X i j = X j i і Y i j = Y j i , ефект модифікації полягає в тому, щоб просто подвоїти значення суми. Однак розроблені тоді процедури доцільні навіть тоді, коли відстані відносини не симетричні, тобто коли можливо, що $i\lt j$$i\ne j$$X_{ij} = X_{ji}$$Y_{ij} = Y_{ji}$ і Y i j ≠ Y j i ; Конкретний випадок, який тоді висвітлюється, де X i j =- X j i , Y i j =- Y j i ...$X_{ij} \ne X_{ji}$$Y_{ij} \ne Y_{ji}$$X_{ij} = -X_{ji}, Y_{ij} = -Y_{ji}$

(у розділі 4; додано наголос).

Симетрія виглядає як штучна умова в багатьох програмних засобах, таких як ade4пакет для R, який використовує об'єкти класу "dist" для зберігання та маніпулювання матрицями відстані. Функції маніпуляції припускають, що відстані є симетричними. З цієї причини ви не можете застосувати його mantel.rtestпроцедуру до асиметричних матриць - але це суто програмне обмеження, а не властивість самого тесту.

Сам тест не представляється , не вимагає яких - небудь властивостей матриць. Очевидно (в силу явного посилання на антисиметричні посилання в кінці попереднього уривку) навіть не потрібно, щоб записи в або Y були позитивними. Це просто перестановочний тест, який використовує деяку міру кореляції двох матриць (розглядаються як вектори з n 2 елементами) як тестову статистику.$X$$Y$$n^2$

В принципі ми можемо перерахувати можливі перестановки наших даних, обчислюють Z [тестову статистику] для кожної перестановки і отримують нульовий розподіл Z, проти якого можна судити спостережуване значення $n!$$Z$$Z$$Z$

[ там же. ]

Насправді Мантел прямо вказав, що матриці не повинні бути дистанційними матрицями, і він наголосив на важливості цієї можливості :

$X_{ij}$$Y_{ij}$$X_{ik} \le X_{ij} + X_{jk}$$X_{ij}$$Y_{ij}$

(У прикладі зазначено нерівність трикутника.)

$n$$n-1$

$Z=\sum\sum X_{ij}Y_{ij}$

На закінчення, з самого початку кожна з метричних аксіом явно вважалася та відкидалася як несуттєва для тесту:

1. "Відстані" можуть бути негативними.

2. "Відстань" між об'єктом і самим собою може бути ненульовою.

3. Нерівність трикутника не повинна дотримуватися.

4. "Відстані" не повинні бути симетричними.

$Z=\sum_{i,j} X_{ij}Y_{ij}$

Це приклад тесту в R. Дано дві матриці відстані xі yповертає зразок розподілу перестановки (як вектор значень тестової статистики). Він не вимагає цього xабо yвзагалі має якісь особливі властивості. Вони повинні бути лише однакового розміру квадратної матриці.

mantel <- function(x, y, n.iter=999, stat=function(a,b) sum(a*b)) {
  permute <- function(z) {
    i <- sample.int(nrow(z), nrow(z))
    return (z[i, i])
  }
  sapply(1:n.iter, function(i) stat(x, permute(y)))
}