Інтуїція за формулою дисперсії суми двох змінних

Я знаю з попередніх досліджень, що

$Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov (A,B)$

Однак я не розумію, чому це так. Я бачу, що ефектом буде «підштовхувати» дисперсію, коли A і B коварі сильно. Має сенс, що коли ви створюєте композит із двох сильно корельованих змінних, ви, як правило, додавати високі спостереження від A до високих спостережень від B, а низькі спостереження від A з низькими спостереженнями від B. Це, як правило, створюють надзвичайно високі та низькі значення в складовій змінній, збільшуючи дисперсію композиту.

Але чому це працює, щоб помножити коваріацію рівно на 2?

Проста відповідь:

Дисперсія включає квадрат:

$$Var(X) = E[(X - E[X])^2]$$

Отже, ваше питання зводиться до коефіцієнта 2 у квадратній ідентичності:

$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$

Що візуально можна зрозуміти як декомпозицію площі квадрата сторони на площу менших квадратів сторін і , крім двох прямокутників сторін і :a b a $(a+b)$$a$$b$$a$$b$

Більше залучена відповідь:

Якщо ви хочете відповісти математично більше, коваріація є білінеарною формою, це означає, що вона є лінійною і в першому, і в другому аргументах, це призводить до:

$$\begin{aligned} Var(A+B) &= Cov(A+B, A+B) \\ &= Cov(A, A+B) + Cov(B, A+B) \\ &= Cov(A,A) + Cov(A,B) + Cov(B,A) + Cov(B,B) \\ &= Var(A) + 2 Cov(A,B) + Var(B) \end{aligned}$$

В останньому рядку я використав той факт, що коваріація симетрична:

$$Cov(A,B) = Cov(B,A)$$

Підсумовуючи:

Це два, тому що ви повинні враховувати як і .c o v ( B , A $cov(A,B)$$cov(B,A)$

Сукупність випадкових змінних є векторним простором, і багато властивостей евклідового простору можуть бути аналогічними їм. Стандартне відхилення діє так, як довжина, а дисперсія, як довжина у квадраті. Незалежність відповідає ортогональності, тоді як ідеальна кореляція відповідає скалярному множенню. Таким чином, дисперсія незалежних змінних слідує теоремі Піфагора: .
$var(A+B) = var(A)+var(B)$

Якщо вони ідеально співвідносяться, то
$std(A+B) = std(A)+std(B)$

Зауважте, що це еквівалентно
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2\sqrt{var(A)var(B)}$

Якщо вони не є незалежними, вони дотримуються закону, аналогічного закону косинусів:
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2cov(A,B)$

Зауважимо, що загальний випадок - це між повною незалежністю та ідеальною кореляцією. Якщо і незалежні, то дорівнює нулю. Таким чином , в загальному випадку є те , що завжди має термін і член, а потім вона має деякі варіації на термін ; чим більше співвідносних змінних, тим більшим буде цей третій член. І це саме те , що є: це раз з і .B c o v ( A , $A$$B$v a r ( A , B ) v a r ( A ) v a r ( B ) 2 $cov(A,B)$$var(A,B)$$var(A)$$var(B)$ 2cov(A,B)2$2\sqrt{var(A)var(B)}$$2cov(A,B)$ r2A$2\sqrt{var(A)var(B)}$$r^2$$A$$B$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+MeasureOfCorrelation*PerfectCorrelationTerm$

де і P e r f e c t C o r r e l a t i o n T e r m = 2 $MeasureOfCorrelation = r^2$$PerfectCorrelationTerm=2\sqrt{var(A)var(B)}$

Поставте іншими словами, якщо , то$r = correl(A,B)$

$\sigma_{A+B} = \sigma_A^2+\sigma_B^2+ 2(r\sigma_A)(r\sigma_B)$

Таким чином, є аналогічним у Законі косинусів. c o $r^2$$cos$

Я хотів би додати , що то , що ви цитуєте НЕ визначення з , а скоріше наслідок визначень і . Отже, відповідь на те, чому це рівняння має місце, - це обчислення, проведені по биунессу . Ваше питання може бути насправді, чому це має сенс; неофіційно:$Var(A+B)$$Var$$Cov$

Наскільки буде "змінюватися" залежить від чотирьох факторів:$A+B$

1. Скільки мінялося б самостійно.$A$
2. Скільки б самостійно.$B$
3. На скільки буде змінюватися, коли рухається (або змінюється).$A$$B$
4. Скільки буде змінюватися, коли рухається.$B$$A$

Що приводить нас до оскільки - симетричний оператор.= V a r ( A ) + V a r ( B ) + 2 C o v (

$$Var(A+B)=Var(A)+Var(B)+Cov(A,B)+Cov(B,A)$$ C o $$=Var(A)+Var(B)+2Cov(A,B)$$ $Cov$