Підтвердження того, що функції, що генерують момент, однозначно визначають розподіли ймовірностей

Текст Вакерлі та ін стверджує цю теорему "Нехай $m_x(t)$ і $m_y(t)$ позначають функції, що генерують момент випадкових змінних X і Y відповідно. Якщо обидві функції, що генерують момент, існують і $m_x(t) = m_y(t)$ для всіх значень t, тоді X і Y мають однаковий розподіл ймовірностей. " без доказу, що говорить його поза межами тексту. Scheaffer Young також має ту саму теоремубез доказу. У мене немає копії Casella, але, схоже, пошук книг Google не знайшов теореми в ній.

Текст Гута, схоже, має контур доказу , але не посилається на "добре відомі результати", а також вимагає знати інший результат , доказ якого також не надається.

Хтось знає, хто спочатку це довів і якщо доказ доступний в Інтернеті де завгодно? Інакше як можна заповнити деталі цього доказу?

Якщо мене запитують ні, це не домашнє завдання, але я можу уявити, що це, можливо, чиєсь домашнє завдання. Я взяв послідовність курсу на основі тексту Wackerly, і мені вже давно цікаво про це підтвердження. Тож я зрозумів, що саме час запитати.

Загальне підтвердження цього можна знайти у Феллера (Вступ до теорії ймовірностей та її застосувань, т. 2) . Це проблема інверсії, що стосується теорії перетворення Лапласа. Ви помітили, що mgf має надзвичайну схожість із трансформацією Лапласа ?. Для використання трансформації Лапласа ви можете побачити Widder (Calcus Vol I) .

Доказ окремого випадку:

Припустимо, що X і Y є випадковими змінними, обидва приймають лише можливі значення в { }. Далі, припустимо, що X і Y мають однаковий mgf для всіх t: n ∑ x = 0 e t x f X ( x ) = n ∑ y = 0 e t y f Y ( y ) Для простоти, нехай s = e t, і ми будемо визначати c i = $0, 1, 2,\dots, n$

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$$ $s = e^t$ для i = 0 , 1 , … , n .$c_i = f_X(i) − f_Y (i)$$i = 0, 1,\dots,n$

Тепер ⇒ n ∑ x = 0 s x f X ( x ) - n ∑ y = 0 s y f Y ( y ) = 0 ⇒ n ∑x = 0 s x f X ( x

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$$ $$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$$ Вищенаведене є просто многочленом s s коефіцієнтами c 0 , c 1 , … , c n . Єдиний спосіб, коли він може бути нульовим для всіх значень s, це якщо c 0 = c 1 = ⋯ = c n = 0. Отже, маємо, що 0 = c i = f X ( i ) - f Y ( i ) для i = 0 , 1 , $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$$ $c_0, c_1,\dots,c_n$$c_0=c_1=\cdots= c_n=0$$0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$ .$i=0, 1,\dots,n$

$f_X(i)=f_Y(i)$$i=0,1,\dots,n$

$X$$Y$$X$$Y$

Теорема, яку ви обговорюєте, є основним результатом теорії ймовірностей / мір. Докази, швидше за все, будуть знайдені в книгах про ймовірність чи статистичній теорії. Я знайшов аналогічний результат для характерних функцій, наведених у Хоель-Порт і Стоун, стр. 205-208

Такер С. 51-53

і Chung pp 151-155 Це третє видання. У мене є друге видання і я маю на увазі номери сторінок у другому виданні, опублікованому в 1974 році.

Доказ для мгф мені було важче знайти, але ви можете знайти його в книзі Біллінглі "Ймовірність і міра", стор. 342-345. На сторінці 342 Теорема 30.1 подає теорему, яка відповідає моменту задачі. На сторінці 345 Біллінгслі констатується результат, що якщо міра ймовірності має функцію, що генерує момент M (s), визначений на інтервалі, що оточує 0, то гіпотеза для теореми 30.1 виконується і, отже, міра визначається її моментами. Але ці моменти s визначаються М (с). Отже, міра визначається її функцією, що генерує момент, якщо M (s) існує в околиці 0. Отже, ця логіка разом із доказом, який він дає для теореми 30.1, підтверджує результат. Біллінгслі також коментує, що рішення здійснити 26.

$X$$M_X(t)=Ee^{tX}$

Теорема унікальності. Якщо існує , то M X$\delta>0$$M_X(t) = M_Y(t) < \infty$$t \in (-\delta,\delta)$$F_X(t) = F_Y(t)$$t \in \mathbb{R}$

Щоб довести, що функція генерації моменту визначає розподіл, існують щонайменше два підходи:

• Щоб показати цю скінченність $M_X$$(-\delta,\delta)$$X$$F_X$$(EX^k)_{k\in\mathbb{N}}$$M_X$

• Показати, що є аналітичним і може бути розширений до ( - δ , δ ) × i R ⊆ C , так що M $M_X$$(-\delta,\delta)\times i\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$$M_X(z)=Ee^{zX}$$M_X(it)=\varphi_X(t)$$t\in\mathbb{R}$$\varphi_X$$F_X$Кертісс, Дж. Енн. Математика. Статистика 13: 430-433 та посилання на них.

На рівні бакалаврату майже кожен підручник працює з функцією, що генерує момент, і викладає вищезгадану теорему, не доводячи її. Це має сенс, оскільки доказ вимагає набагато досконалішої математики, ніж дозволяє рівень бакалаврату.

$\varphi_X(t)=Ee^{itX}$