Властивості дискретної випадкової величини

Мій курс статистики просто навчив мене, що дискретна випадкова величина має обмежену кількість варіантів ... Я цього не усвідомлював. Я б подумав, як набір цілих чисел, це може бути нескінченним. Гуглінг та перевірка декількох веб-сторінок, у тому числі декількох з університетських курсів, цього не вдалося спеціально підтвердити; Більшість сайтів, однак, кажуть, що дискретні випадкові змінні підраховуються - я вважаю, що це означає кінцеву кількість?

Зрозуміло, що безперервні випадкові величини нескінченні, навіть якщо (більшість?) Часто обмежені.

Але якщо дискретні випадкові величини мають кінцеві можливості, то що тоді є нескінченним розподілом цілих чисел? Це ні дискретно, ні безперервно? Чи суперечить питання тому, що змінні або мають тенденцію бути безперервними & (за визначенням) нескінченними, або розривними та кінцевими?

random-variable discrete-data

— Джеймс
джерело

Вам слід запитати свій курс статистики щодо випадкових геометричних та пуассонових змінних

— ймовірністьлогічна

Це онлайн, тому відгуки обмежені. Ви припускаєте, що вони є третім (і четвертим?) Типом змінної, а не просто (!) Розподілу?

— Джеймс

Розподіл не є випадковою змінною - ігнорування цього розрізнення багатьох збентежило. Прекрасна теорема математики початку 20 століття, теорема про декомпозицію Лебега , показує, як уявляти всі функції розподілу як такі, що складаються з трьох різних видів: "безперервні" (які далі підрозділяються на абсолютно неперервні та безперервні, але не змінні) та "дискретні". "

— whuber

не гарний курс, який ти

— береш,

За всі відповіді тут, дякую (хоч деякі і над головою, я визнаю). Я, мабуть, мав би посилатися на те, що спричинило це питання, як при його перегляді, можливо, я його трактував неправильно: істинне / хибне запитання, що вказує на "Дискретна випадкова величина може приймати кінцеву кількість чітких значень", вважається істинним; з поясненням, що твердження "є однією з ключових властивостей дискретної випадкової змінної". Якби ми опитували фермерів, запитуючи, скільки великої рогатої худоби їм належить, неможливо було б попередньо обмежити кількість, це теоретично нескінченно, але дискретно ...?

— Джеймс

Відповіді:

Якщо це сказав ваш курс, це неправильно.

Хоча дискретні розподіли можуть мати кінцеву кількість можливих результатів, їх не потрібно; ви можете мати дискретний розподіл, який має нескінченну кількість можливих результатів - кількість елементів має бути не більше ніж підрахункова.

Поширеним прикладом може бути геометричний розподіл; враховуйте кількість кидок справедливої монети, поки не отримаєте голову. Немає обмеженої верхньої межі щодо кількості кидок, які можуть знадобитися. Це може зайняти 1 жеребкування, або 2, або 3, або 100, або будь-яке інше число.

Дискретний розподіл може бути негативним (врахуйте різницю між двома такими геометрично розподіленими випадковими змінними; це може бути будь-яке додатне чи негативне ціле число).

Дискретний розподіл не повинен бути над цілими числами, хоча, як у моєму прикладі. Це просто звичайна ситуація, а не вимога.

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

Отже, яка реальна умова, яка робить розподіл «дискретним»? :)

— Метью Друрі

Умова полягає в тому, що у неї міра Лебега нульова, чи не так, @matthewDrury ?. Що, у свою чергу, еквівалентно підсумовуванню розподілу до одного, щонайменше, лічильного набору.

— Теркель

Мушу визнати, що не знаю канонічних визначень. Мені цікаво, яка роль накопичувальних точок у всьому цьому.

— Меттью Друрі

@Therkel Я б подумав, що розподіл по Cantor Set не вважатиметься "дискретним".

— Накопичення

Після перевірки en.wikipedia.org/wiki/Countable_set я радий прийняти це як відповідь; приклад геометричного розподілу зрозумілий, і, здається, він представляє консенсус відповідей, внесених до цього часу.

— Джеймс

Я пишу відповідь, з точки зору того, що я маю лише дуже наївне розуміння мірико-теоретичної ймовірності (так, експерти, будь ласка, виправте мене!).

Випадкова величина (реальна величина) - це функція , де - простий простір. $X: S \to \mathbb{R}$ $S$

$X$ дискретний, якщо , образ індукований , можна підрахувати. є безперервним, якщо має абсолютно безперервний CDF . (Я не знаю так багато про абсолютно безперервні функції, тому я не можу детальніше розглянути це питання.) $X(S)$ $S$ $X$ $X$ $X$

Однак, не всі випадкові змінні є лише дискретними або безперервними. Існують "змішані" випадкові величини, де має CDF, що є сумою крокової функції та безперервної функції з показниками. $X(s)$

Ви також можете мати випадкові змінні, які не є ні дискретними, ні безперервними, наприклад розподілом Кантора .

— Кларнетист
джерело

Ви насправді знаєте досить багато про абсолютно безперервні розподіли, оскільки (майже за визначенням) абсолютно безперервний розподіл - це щільність. Існують безперервні розподіли, які не мають щільності: архетипний приклад - це розподіл, індукований функцією Кантора .

— качан

Якщо злічне зображення має точку накопичення, чи все-таки ми би сказали його дискретним?

— Меттью Друрі

[0, 1]

$[0,1]$

Процитую сторінку вікіпедії на безперервних і дискретних змінних :

Якщо вона [змінна] може приймати два конкретні реальні значення, такі, що також може приймати всі реальні значення між ними (навіть значення, які довільно близькі між собою), змінна є безперервною у цьому інтервалі

Отже, дискретна випадкова величина не повинна мати "кінцеву кількість варіантів", але між можливими значеннями має бути нескінченно малий розрив. Це стосується розподілу цілих чисел, оскільки 'відстань' між двома сусідніми цілими числами дорівнює 1 і не може бути меншою за це. Тому змінна не є безперервною, оскільки не «продовжується» в межах цих прогалин.

Редагувати: Я знаю, що, мабуть, є кращі та / або точніші варіанти відповіді на це, але саме це мені допомогло особисто зрозуміти різницю.

— демел
джерело

0

$0$

1.

$1.$

Деякі автори заявляють, що значення, які довільно зближуються між собою, не є дискретними, але я мушу визнати, що мені здається дивним (хоча, можливо, мені щось не вистачає). Прикладом є розподіл різниці квадратних коренів двох випадкових величин Пуассона (w.real applications: люди іноді беруть квадратні корені зі змінними, які вважаються Пуассоном для стабілізації дисперсії, і можуть бути зацікавлені в тому, чи парні різниці зосереджені на нуль). Значення можуть бути довільно близькими разом із такою змінною, але вони завжди відрізняються (можна перерахувати кожну), ...

— ctd

Y = 1 / X

$Y=1/X$

X

$X$

ε > 0

$ε>0$

X

$X$

Y

$Y$

@Glen Ці автори, як видається, плутають два різних поняття "дискретного": одне - це мірно-теоретична ідея, що обговорюється тут, а інша - топологічна концепція, в якій кожен елемент дискретного набору у топологічному просторі міститься у відкритому наборі не мають інших елементів в ньому. Хоча приємно, що міра ймовірності, що підтримується на будь-якому дискретному підмножині реальної лінії, буде дискретною, навпаки не вірно: дискретні заходи не повинні підтримуватися на дискретних підпросторах.

A

$A$

A

$A$

— whuber

Я гадаю, це мікс у мене в голові. Я підготовлений тополог, тому дискретний виразно дзвонить у топологічному контексті, коли я чую це. Дякуємо за уточнення @whuber.

— Метью Друрі