Чи можемо ми відкинути нульову гіпотезу з довірчими інтервалами, отриманими за допомогою вибірки, а не з нульовою гіпотезою?

9

Мене вчили, що ми можемо дати оцінку параметрів у вигляді довірчого інтервалу після вибірки з популяції. Наприклад, 95% довірчі інтервали, без порушених припущень, повинні мати 95% успішність вмісту того, що б істинний параметр, який ми оцінюємо, у сукупності.

Тобто,

Складіть бальну оцінку з вибірки.
Визначте діапазон значень, який теоретично має 95% шансу містити справжнє значення, яке ми намагаємося оцінити.

Однак, коли тема перейшла до тестування гіпотез, кроки були описані наступним чином:

Припустимо якийсь параметр як нульову гіпотезу.
Проведіть розподіл вірогідності ймовірності отримання різних точкових оцінок, враховуючи цю нульову гіпотезу.
Відхиліть нульову гіпотезу, якщо отримана нами точкова оцінка буде вироблена менше 5% часу, якщо нульова гіпотеза вірна.

Моє запитання таке:

Чи потрібно виробляти наші довірчі інтервали, використовуючи нульову гіпотезу, щоб відкинути нуль? Чому б просто не виконати першу процедуру і не отримати нашу оцінку для істинного параметра (не явно використовуючи наше гіпотезоване значення для обчислення довірчого інтервалу), а потім відкинути нульову гіпотезу, якщо вона не потрапляє в цей інтервал?

Мені це здається логічно рівнозначним інтуїтивно, але я побоююсь, що мені не вистачає чогось дуже фундаментального, оскільки, мабуть, є причина, що цього навчають.

— Ніклі
джерело

Мої вибачення за те, що я неясна, Мартине. Незабаром я відредагую свою публікацію, щоб людям було зрозуміліше в майбутньому ті самі питання. Що я мав на увазі, це те, що ми можемо обчислити оцінку параметра з вибірки, або ми можемо обчислити діапазон оцінок, які ми вважатимемо для підтримки нульової гіпотези, використовуючи нульову гіпотезу. Я не розумів, чому потрібно використовувати null, щоб перевірити, чи є наша оцінка точки в цьому інтервалі, а не просто використовувати нашу оцінку параметрів і перевіряти, чи нуль знаходиться в межах оцінки параметра. Сподіваюся, це має сенс!

— Ніклі

Цікавий продуманий експеримент, якщо хтось намагається продати вам зважені кістки. Вони котять їх, а потім заявляють, що вони зважуються в напрямку, який ви спостерігаєте (наприклад, 6 припадає на 20% часу). Чи вони зважені (чи було достатньо виконаних зразків кидків), на скільки і чого варто робити власні (додаткові) тести на кидання кісток? Продавець і покупець мають різні цілі ...

— Філіп Оуклі

5

Проста задача на прикладі задається шляхом тестування на середнє значення нормальної сукупності з відомою дисперсією . Тоді зведене значення - величина, розподіл якої не залежить від параметра, задається . Критичні значення в цьому симетричному випадку задовольняють і . $\sigma^2=1$ $\bar{Y}-\mu\sim N(0,1/n)$ $z_{\alpha/2}$ $\Phi(-z_{\alpha/2})=\alpha/2$ $\Phi(z_{\alpha/2})=1-\alpha/2$

Отже, щоб - довірчий інтервал рівня .

\begin{array}{rcl} 1 - α & = & Pr {(\bar{X} - μ) / (1 / \sqrt{n}) \in (- z_{α / 2}, z_{α / 2})} \\ = & Pr {- z_{α / 2} ⩽ (\bar{X} - μ) \sqrt{n} ⩽ z_{α / 2}} \\ = & Pr {z_{α / 2} ⩾ (μ - \bar{X}) \sqrt{n} ⩾ - z_{α / 2}} \\ = & Pr {- z_{α / 2} / \sqrt{n} ⩽ μ - \bar{X} ⩽ z_{α / 2} / \sqrt{n}} \\ = & Pr {\bar{X} - z_{α / 2} / \sqrt{n} ⩽ μ ⩽ \bar{X} + z_{α / 2} / \sqrt{n}} \\ = & Pr {(\bar{X} - z_{α / 2} / \sqrt{n}, \bar{X} + z_{α / 2} / \sqrt{n}) ∋ μ} \end{array}

$\begin{eqnarray*} 1-\alpha&=&\Pr\{(\bar{X}-\mu)/(1/\sqrt{n})\in(-z_{\alpha/2},z_{\alpha/2})\}\\ &=&\Pr\{-z_{\alpha/2}\leqslant(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}\leqslant z_{\alpha/2}\}\\ &=&\Pr\{z_{\alpha/2}\geqslant(\mu-\bar{X})\sqrt{n}\geqslant -z_{\alpha/2}\}\\ &=&\Pr\{-z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\leqslant\mu-\bar{X}\leqslant z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\}\\ &=&\Pr\{\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\leqslant\mu\leqslant \bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\}\\ &=&\Pr\{(\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n},\bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n})\ni\mu\} \end{eqnarray*}$

(\bar{X} - z_{α / 2} / \sqrt{n}, \bar{X} + z_{α / 2} / \sqrt{n})

$(\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n},\bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n})$

1 - α

$1-\alpha$

У той же час, подія в першому рядку дисплея - це також подія, коли нульова гіпотеза не відхилена для цього . Оскільки решта просто містить еквівалентні переформулювання, ci дійсно містить усі для яких нуль не відхилено, і посилання на "під нуль" не потрібне. $\mu$ $\mu$

Ось сюжет, аналогічний візуалізації +1 Мартійна, що має на меті показати, що називається подвійністю між довірчими інтервалами та тестами. позначає інтервал довіри, що належить деякому і область прийняття, що належить до деякої гіпотези . $C$ $\bar{x}^*$ $A(\mu_0)$ $\mu=\mu_0$

— Крістоф Ганк
джерело

10

Так, ви можете замінити тест гіпотези (порівняння вибірки з гіпотетичним розподілом результатів тесту) порівнянням з довірчим інтервалом, обчисленим з вибірки. Але опосередковано інтервал довіри - це вже свого роду тест гіпотези, а саме:

Ви можете бачити, що інтервали довіри будуються як діапазон значень, для якого тест гіпотези рівня буде успішним, $\alpha$ а поза діапазоном тест гіпотези рівня не вийде. $\alpha$

Наслідком створення такого діапазону є те, що діапазон не відповідає лише частці часу. $\alpha$

Приклад

Я використовую зображення з відповіді на нижченаведене питання: Інтервали довіри: як офіційно боротися з $P(L(\textbf{X}) \leq \theta, U(\textbf{X})\geq\theta) = 1-\alpha$

Це варіація графіка від Clopper-Pearson . Уявіть випадок 100 випробувань Бернуллі , де ймовірність успіху , і ми спостерігаємо загальне число успіхів . $\theta$ $X$

Зауважте, що:

У вертикальному напрямку ви бачите тестування гіпотез. Наприклад, для заданого гіпотезованого значення ви відкидаєте гіпотезу, якщо вимірюваний вище або нижче червоних або зелених пунктирних ліній. $\theta$ $X$
У горизонтальному напрямку ви бачите довірчі інтервали Clopper-Pearson. Якщо для будь-якого даного спостереження X ви використовуєте ці довірчі інтервали, то ви будете помилятися лише 5% часу

(тому що ви будете спостерігати лише такий X, на якому ви базуєте "неправильний" інтервал, 5% часу)

— Секст Емпірік
джерело