Незалежність статистики від розподілу гамми

Нехай$X_1,...,X_n$бути випадковою вибіркою з розподілу гами .$\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)$

Нехай і - середня вибірка та дисперсія вибірки відповідно.$\bar{X}$$S^2$

Потім доведіть або спростуйте, що і є незалежними.$\bar{X}$$S^2/\bar{X}^2$

---

Моя спроба: оскільки , нам потрібно перевірити незалежність і , але як я повинен встановити незалежність між ними?$S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2$$\bar{X}$$\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}$

Існує мила, проста, інтуїтивно очевидна демонстрація інтегралу $\alpha.$ Він покладається лише на добре відомі властивості рівномірного розподілу, розподілу Гамми, Пуассонових процесів та випадкових змінних і йде так:

1. Кожен $X_i$ - час очікування до $\alpha$ виникають точки процесу Пуассона.

2. Сума $Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$ тому час очікування до $n\alpha$точки цього процесу трапляються. Назвемо ці моменти$Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n\alpha}.$

3. Умовно на $Y$, перший $n\alpha-1$ бали незалежно рівномірно розподіляються між собою $0$ і $Y.$

4. Тому співвідношення $Z_i/Y,\ i=1,2,\ldots, n\alpha-1$ незалежно рівномірно розподілені між собою $0$ і $1.$ Зокрема, їх розподіл не залежить від$Y.$

5. Отже, будь-яка (вимірювана) функція $Z_i/Y$ не залежить від $Y.$

6. Серед таких функцій є

   $$\eqalign{X_1/Y &= Z_{[\alpha]}/Y\\ X_2/Y &= Z_{[2\alpha]}/Y - Z_{[\alpha]}/Y\\ \ldots\\ X_{n-1}/Y &= Z_{[(n-1)\alpha]}/Y - Z_{[(n-2)\alpha]}/Y\\ X_n/Y &= 1 - Z_{[(n-1)\alpha]}/Y}$$ (де дужки $[]$Позначать порядкові статистики з$Z_i$).

На даний момент просто зауважте це $S^2/\bar X^2$ можна записати явно як (вимірювану) функцію $X_i/Y$ і тому є незалежним від $\bar X = Y/n.$

Ви хочете довести, що це означає $\bar{X}$ і $n$ rv.s $X_i/\bar{X}$ є незалежними, або рівнозначно, що сума $U := \sum X_i$ і $n$ співвідношення $W_i := X_i / U$є незалежними. Ми можемо довести трохи більш загальний результат, припустивши, що$X_i$ мають, можливо, різні форми $\alpha_i$, але такого ж масштабу $\beta>0$ які можна припустити $\beta = 1$.

Розглянемо спільне перетворення Лапласа $U$ і $\mathbf{W}=[W_i]_{i=1}^n$ тобто

$$\psi(t,\,\mathbf{z}) := \text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}\} = \text{E}\left\{ \exp\left[-t \sum_i X_i - \sum_i z_i \,\frac{X_i}{U} \right] \right\}$$ Це виражається як $n$-розмірний інтеграл над $(0, \infty)^n$
$$%% \psi(t,\,\mathbf{z} = \text{Cst} \, \int \exp \left[- (1 + t)(x_1 + \dots + x_n) - \frac{z_1 x_1 + \dots + z_n x_n}{x_1 + \dots + x_n} \right] \, x_1 ^{\alpha_1 - 1} \dots \, x_n^{\alpha_n - 1} \text{d}\mathbf{x}$$ де константа відносно $\mathbf{x}$. Якщо ми введемо нові змінні під інтегральним знаком, встановивши $\mathbf{y} := (1 + t)\, \mathbf{x}$, ми легко бачимо, що інтеграл можна записати як добуток двох функцій, одна залежно від $t$ інший залежно від вектора $\mathbf{z}$. Це доводить це$U$ і $\mathbf{W}$ є незалежними.

Відмова від відповідальності . Це питання стосується теореми Лукача про пропорційну незалежність , звідси до статті Євгена Лукача «Характеристика розподілу гамми» . Я щойно витягнув тут відповідну частину цієї статті (а саме стор. 324), із деякими змінами у позначеннях. Я також замінив використання характерної функції на перетворення Лапласа, щоб уникнути змін змінних, що включають складні числа.

Дозволяє $U=\sum_i X_i$. Зауважте, що$(X_i /U)_i$ є допоміжною статистикою $\beta$, тобто її розподіл не залежить від $\beta$.

З тих пір $U$ є повною достатньою статистикою $\beta$, це незалежно від $(X_i /U)_i$ за теоремою Басу, тому висновок випливає.

Я не впевнений у побудові допоміжної статистики, оскільки вона є незалежною лише від $\beta$, не $\alpha$.