Коли теорема про центральну межу і закон великих чисел не розходяться

19

Це, по суті, реплікація питання, яке я знайшов на math.se , на яке не було отримано відповідей, на які я сподівався.

Нехай - послідовність незалежних, однаково розподілених випадкових змінних, з і . $\{ X_i \}_{i \in \mathbb{N}}$ $\mathbb{E}[X_i] = 1$ $\mathbb{V}[X_i] = 1$

Розглянемо оцінку

lim_{n \to \infty} P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq \sqrt{n})

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right)$

Цим виразом потрібно маніпулювати, оскільки обидві сторони події нерівності прагнуть до нескінченності.

А) Спробуйте СУБТРАКЦІЮ

Перш ніж розглянути обмежувальний вислів, відніміть $\sqrt{n}$ з обох сторін:

lim_{n \to \infty} P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - \sqrt{n} \leq \sqrt{n} - \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - 1) \leq 0) = Φ (0) = \frac{1}{2}

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i -\sqrt{n} \leq \sqrt{n}-\sqrt{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n (X_i - 1) \leq 0\right) \\ = \Phi(0) = \frac{1}{2}$

остання рівність CLT, де $\Phi()$ є стандартною функцією нормального розподілу.

Б) Спробуй багатогранність

Помножте обидві сторони на $1/\sqrt{n}$

lim_{n \to \infty} P (\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq 1)

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac {1}{\sqrt{n}}\cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \frac {1}{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \leq 1\right)$

= lim_{n \to \infty} P ({\bar{X}}_{n} \leq 1) = lim_{n \to \infty} F_{{\bar{X}}_{n}} (1) = 1

$= \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\bar X_n \leq 1\right) = \lim_{n \to \infty}F_{\bar X_n}(1) = 1$

де $F_{\bar X_n}()$ - функція розподілу середньої вибірки $\bar X_n$ , яка за LLN сходяться за ймовірністю (а так само і в розподілі) до постійної $1$ , отже, остання рівність.

Так ми отримуємо суперечливі результати. Який правильний? І чому інший помиляється?

probability mathematical-statistics asymptotics

— Алекос Пападопулос
джерело

1

@JuhoKokkala Звичайно, ось що, math.stackexchange.com/q/2830304/87400 Просто ігноруйте помилку ОП там.

— Алекос Пападопулос

2

Я думаю, що проблема полягає у другому твердженні, що викликає LLN

— Glen_b -Встановити Моніку

3

Я стежив за вами аж до остаточної рівності. Це явно неправильно, тому що ми очікуємо, що наблизиться до для великого і тому його межа не повинна дорівнювати Яке передбачуване обґрунтування цього? Я не знаю жодної версії закону великої кількості.

P ({\bar{X}}_{n} \leq 1)

$\mathbb{P}(\bar X_n\le 1)$

1 / 2

$1/2$

n

$n$

1.

$1.$

— whuber

1

@whuber Імовірно, що вся ймовірність для середнього зразка концентрується до значення . Якщо це неправильно, я вважаю, що важливо, щоб помилка була детально викладена у відповіді, саме в цьому і полягає це питання.

1

$1$

— Алекос Пападопулос

2

Алекос, мене турбує не те, чи не остаточний крок невірний: це стосується ваших причин зробити його. Хіба це не все-таки, про що йдеться? Я досі нічого не читав від вас, наводячи ці причини, і я б вагався, навіть здогадуючись, що вони можуть бути. Хоча ви посилаєтесь на "LLN", я вважаю, що вирішення вашої проблеми, ймовірно, полягає в тому, щоб точно описати те, що ви розумієте під "LLN".

— whuber

15

Помилка тут, ймовірно, полягає в наступному факті: конвергенція розподілу неявно передбачає, що сходиться до у точках безперервності . Оскільки розподіл межі є постійною випадковою величиною, він має розрив стрибка при , отже, неправильно зробити висновок, що CDF сходиться до . $F_n(x)$ $F(x)$ $F(x)$ $x=1$ $F(x)=1$

— Алекс Р.
джерело

1

Те, як ми визначаємо конвергенцію при розподілі, не виключає можливості конвергенції в точках розриву - просто не вимагає цього.

— Алекос Пападопулос

1

Але якщо конвергенція в розподілі не вимагає конвергенції до , на чому базується остання рівність у питанні?

F_{n} (1)

$F_n(1)$

F (1)

$F(1)$

— Juho Kokkala

1

@Juho Це не базується ні на чому - це суть справи. Немає теореми, яка б дозволила скласти останнє рівняння у питанні.

— whuber

1

@AlecosPapadopoulos: Я ніколи не говорив, що це не виключає можливості. Я неявно кажу, що вам потрібно виправдати останню рівність за межами того, що вам дано від зближення в розподілі. Наприклад, якщо є Бернуллі, то це було б правдою.

X_{n}

$X_n$

— Алекс Р.

11

Для iid випадкових змінних з визначити Тепер, CLT каже, що для кожного фіксованого реального числа , . ОП застосовує CLT для оцінки $X_i$ $E[X_i]= \operatorname{var}(X_i)=1$

\begin{aligned} Z_{н} & = \frac{1}{\sqrt{н}} \sum_{i = 1}^{н} Х_{i}, \\ Y_{н} & = \frac{1}{н} \sum_{i = 1}^{н} Х_{i} . \end{aligned}

$\begin{align}Z_n &= \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n X_i,\\ Y_n &= \frac{1}{{n}}\sum_{i=1}^n X_i. \end{align}$

z

$z$

lim_{n \to \infty} F_{Z_{n}} (z) = Φ (z - 1)

$\lim_{n\to\infty} F_{Z_n}(z) = \Phi(z-1)$

lim_{н \to \infty} П (Z_{н} \leq \frac{1}{\sqrt{н}}) = Φ (0) = \frac{1}{2} .

$\lim_{n\to\infty}P\left(Z_n \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \Phi(0) = \frac 12.$

Як вказували інші відповіді, а також кілька коментарів до питання ОП, підозрюваною є оцінка ОП від . Розглянемо особливий випадок, коли iid - дискретні випадкові величини, що приймають значення і з однаковою ймовірністю . Тепер може приймати всі парні значення у і тому, коли непарне, не може приймати значення і, отже, не може набрати значення $\lim_{n\to\infty} P(Y_n \leq 1)$ $X_i$ $0$ $2$ $\frac 12$ $\sum_{i=1}^n X_i$ $[0,2n]$ $n$ $\sum_{i=1}^n X_i$ $n$ $Y_n = \frac 1n \sum_{i=1}^n X_i$ $1$ . Крім того, оскільки розподіл симетричний приблизно , ми маємо, що має значення коли є непарним. Таким чином, послідовність чисел містить підпослідовність у яких усі доданки мають значення . З іншого боку, підпослідовність є збіжним до . Отже, $Y_n$ $1$ $P(Y_n \leq 1) = F_{Y_n}(1)$ $\frac 12$ $n$

П (Y_{1} \leq 1), П (Y_{2} \leq 1), \dots, П (Y_{н} \leq 1), \dots

$P(Y_1 \leq 1), P(Y_2 \leq 1), \ldots, P(Y_n \leq 1), \ldots$

П (Y_{1} \leq 1), П (Y_{3} \leq 1), \dots, П (Y_{2 к - 1} \leq 1), \dots

$P(Y_1 \leq 1), P(Y_3 \leq 1), \ldots, P(Y_{2k-1} \leq 1), \ldots$

\frac{1}{2}

$\frac 12$

П (Y_{2} \leq 1), П (Y_{4} \leq 1), \dots, П (Y_{2 к} \leq 1), \dots

$P(Y_2 \leq 1), P(Y_ 4\leq 1), \ldots, P(Y_{2k} \leq 1), \ldots$

1

$1$

lim_{n \to \infty} P (Y_{n} \leq 1)

$\lim_{n\to\infty} P(Y_n \leq 1)$ не існує, і домагання конвергенції до 1 слід розглядати з великою підозрою.

P (Y_{n} \leq 1)

$P(Y_n\leq 1)$

— Діліп Сарват
джерело

8

Ваш перший результат - правильний. Ваша помилка виникає у другій частині в наступному помилковому твердженні:

lim_{н \to \infty} Ж_{{\bar{Х}}_{н}} (1) = 1.

$\lim_{n \rightarrow \infty} F_{\bar{X}_n}(1) = 1.$

Це твердження помилкове (права частина повинна бути ) і не випливає із закону великих чисел, як стверджується. Слабкий закон великої кількості (який ви посилаєтесь) говорить про те, що: $\tfrac{1}{2}$

lim_{н \to \infty} П (| {\bar{Х}}_{н} - 1 | ⩽ ε) = 1 для усіх ε > 0.

$\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \Big( |\bar{X}_n - 1| \leqslant \varepsilon \Big) = 1 \quad \quad \text{for all } \varepsilon > 0.$

Для всіх умова охоплює деякі значення, де а деякі значення, де . Отже, з LLN не випливає, що . $\varepsilon > 0$ $|\bar{X}_n - 1| \leqslant \varepsilon$ $\bar{X}_n \leqslant 1$ $\bar{X}_n > 1$ $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} ( \bar{X}_n \leqslant 1 ) = 1$

— Відновіть Моніку
джерело

1

Результат (помилковий насправді) походить від імплікації "конвергенція ймовірності передбачає конвергенцію в розподілі". Питання не говорить про те, що твердження походить безпосередньо від LLN.

— Алекос Пападопулос

@AlecosPapadopoulos: збіжність за ймовірністю робить слід збіжність в розподілі. Знову ж, конвергенція розподілу потрібна лише у точках наступності. Але, можливо, ви мали на увазі збіжність у ймовірності не означає точкової конвергенції розподілу.

— Алекс Р.

@AlexR. Я не впевнений, де лежить ваше заперечення. Я вважаю, що це питання висвітлено в моїй власній відповіді.

— Алекос Пападопулос

3

Конвергенція ймовірності передбачає конвергенцію в розподілі. Але ... який розподіл? Якщо обмежувальний розподіл має розрив стрибка, то межі стають неоднозначними (оскільки при розриві можливі кілька значень).

де - функція розподілу середньої вибірки , яка за LLN сходяться за ймовірністю (а так само і в розподілі) до постійної , $F_{\bar X_n}()$ $\bar X_n$ $1$

Це неправильно, і також легко показати, що воно не може бути правильним (відмінне від розбіжностей між CLT та LLN). Обмежувальний розподіл (який можна розглядати як обмеження для послідовності нормальних розподілених змінних) повинен бути:

Ж_{{\bar{Х}}_{\infty}} (х) = {\begin{cases} 0 & для х < 1 \\ 0,5 & для х = 1 \\ 1 & для х > 1 \end{cases}

$F_{\bar{X}_\infty}(x) = \begin{cases} 0 & \text{for } x<1 \\ 0.5& \text{for } x=1\\ 1 & \text{for } x>1 \end{cases}$

для цієї функції у вас є те, що для будь-якого і кожного різниця для досить великих . Це не вдасться, якщо замість $\epsilon>0$ $x$ $|F_{\bar{X}_n}(x)-F_{\bar{X}_\infty}(x)|<\epsilon$ $n$ $F_{\bar{X}_\infty}(1)=1$ $F_{\bar{X}_\infty}(1)=0.5$

Межа нормального розподілу

Може бути корисним чітко виписати суму, використану для виклику закону великих чисел.

{\bar{Х}}_{н} = \frac{1}{н} \sum_{i = 1}^{н} Х_{i} \sim N (1, \frac{1}{н})

$\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \sim N(1,\frac{1}{n})$

^{Межа для насправді еквівалентна функції Дірака Дельта, коли вона представлена як межа нормального розподілу, а дисперсія буде до нуля. $n\to \infty$ $\hat{X}_n$}

Використовуючи цей вираз, простіше зрозуміти, що відбувається під кришкою, ніж використовувати готові закони CLT та LLN, які неясні міркування законів.

Зближення ймовірності

Закон великих чисел дає "збіжність у ймовірності"

lim_{н \to \infty} П (| {\bar{Х}}_{н} - 1 | > ϵ) = 0

$\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X}_n-1|>\epsilon) =0$

з $\epsilon > 0$

^{Еквівалентне твердження можна зробити для центральної граничної теореми з
$\lim_{n \to \infty} P(|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum \left( X_i-1 \right)|>\frac{\epsilon}{n}) =0$}

Неправильно стверджувати, що це означає

lim_{н \to \infty} П (| {\bar{Х}}_{н} - 1 | > 0) = 0

$\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X}_n-1|>0) =0$

^{Менш приємно, що це питання було поставлено настільки рано (заплутано, але цікаво побачити різні дискусії / підходи до математики проти статистики, так що не дуже погано). Відповідь Майкл Харді на математику stackexchange угод з ним дуже ефективно з точкою зору посиленого закону великих чисел (той же принцип, загальноприйнятий відповіддю від drhab в поперечному опублікованому питанні і Діліпа тут). Ми майже впевнені, що послідовність до 1, але це не означає, що $\bar{X}_1, \bar{X}_2, \bar{X}_3, ... \bar{X}_n$ $\lim_{n \to \infty} P(\bar{X}_n = 1)$ буде дорівнює 1 (або він може навіть не існувати, як показує Діліп). Приклад кістки в коментарях Томаша показує це дуже добре з іншого кута (замість того, що межа не існує, ліміт іде до нуля). Середнє значення послідовності рулонів з кістки буде збігатися із середнім значенням кісток, але ймовірність бути рівним цьому дорівнює нулю.}

Функція ступінь важкого ступеня і дельта-функція Дірака

CDF такий: $\bar{X}_n$

F_{{\bar{X}}_{n}} (x) = \frac{1}{2} (1 + erf \frac{x - 1}{\sqrt{2 / n}})

$F_{\bar{X}_n}(x) = \frac{1}{2} \left(1 + \text{erf} \frac{x-1}{\sqrt{2/n}} \right)$

з, якщо вам подобається, (пов'язане з кроковою функцією Heaviside , інтеграл функції дельти Дірака, якщо розглядати його як межа нормальний розподіл). $\lim_{n \to \infty} F_{\bar{X}_n}(1) = 0.5$

Я вважаю, що ця думка інтуїтивно вирішує ваше запитання щодо "покажіть, що це неправильно" або, принаймні, це показує, що питання про розуміння причини цієї незгоди CLT і LLN рівнозначно питанню розуміння інтеграла дельтової функції Дірака або послідовність нормальних розподілів з дисперсією, що зменшується до нуля.

— Секст Емпірік
джерело

2

Ваш обмежуючий розподіл насправді зовсім не є розподілом. CDF повинен бути правильним безперервним, тоді як він явно не знаходиться при .

x = 1 / 2

$x=1/2$

— Алекс Р.

Правильна наступність здається необхідною такою, що для кожного ми маємо як події вкладені, ми повинні мати але чи це правда для нашого випадку і де улов? Чи потрібна ця правильна спадкоємність, заснована на аксіомах вірогідності, чи це лише умова, що CDF працює в більшості випадків?

a

$a$

lim_{n \to \infty} F_{X} (a + \frac{1}{n}) = F_{X} (a)

$\lim_{n \to \infty} F_{X}(a+\frac{1}{n}) = F_{X}(a)$

X \leq a + \frac{1}{n}

$X \leq a+\frac{1}{n}$

lim_{n \to \infty} F_{X} (a + \frac{1}{n}) = lim_{n \to \infty} P (X \leq a + \frac{1}{n}) = П (lim_{н \to \infty} Х \leq а + \frac{1}{н}) = П (Х \leq а) = Ж_{Х} (а)

$\lim_{n \to \infty} F_{X}(a+\frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} P(X \leq a+\frac{1}{n}) = P(\lim_{n \to \infty} X \leq a+\frac{1}{n}) = P(X \leq a) = F_{X}(a)$

— Секст Емпірік

@Martin Weterings: саме звідси воно походить. Будь-яка дійсна міра повинна задовольняти цим результатам монотонності. Вони є наслідком обмеженості поряд із лічильною адицією. Більш загально, функція є CDF (тобто відповідає деякому розподілу через iff є правильним безперервним, поряд з тим, що є монотонним , і, залишивши ліміт 0, правий межа 1.

P

$P$

P

$P$

F (x)

$F(x)$

P

$P$

F (b) - F (a) = P (a < X \leq b)

$F(b)-F(a)=P(a<X\leq b)$

F

$F$

— Алекс Р.

2

Я вважаю, що до цього часу повинно бути зрозуміло, що "підхід CLT" дає правильну відповідь.

Давайте точно визначимо, де «підхід до LLN» йде не так.

Починаючи з кінцевих висловлювань, тоді зрозуміло, що ми можемо еквівалентно або відняти з обох сторін, або помножити обидві сторони на . Ми отримуємо $\sqrt{n}$ $1/\sqrt{n}$

П (\frac{1}{\sqrt{н}} \sum_{i = 1}^{н} Х_{i} \leq \sqrt{н}) = П (\frac{1}{\sqrt{н}} \sum_{i = 1}^{н} (Х_{i} - 1) \leq 0) = П (\frac{1}{н} \sum_{i = 1}^{н} Х_{i} \leq 1)

$\mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right)=\mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n(X_i-1) \leq 0\right) = \mathbb{P}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^nX_i \leq 1\right)$

Отже, якщо межа існує, вона буде ідентичною. Встановивши , маємо, використовуючи функції розподілу $Z_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n(X_i-1)$

П (\frac{1}{\sqrt{н}} \sum_{i = 1}^{н} Х_{i} \leq \sqrt{н}) = Ж_{Z_{н}} (0) = Ж_{{\bar{Х}}_{н}} (1)

$\mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right)= F_{Z_n}(0) = F_{\bar X_n}(1)$

... і правда, що . $\lim_{n\to \infty}F_{Z_n}(0)= \Phi(0) = 1/2$

Мислення в "підході до LLN" йде так: "Ми знаємо з LLN, що перетворюється в імовірності в константу. І ми також знаємо, що" конвергенція у ймовірності передбачає конвергенцію в розподілі ". Отже, сходиться в розподілі на постійну ". До цього ми правильні. Тоді ми констатуємо: "отже, обмежувальні ймовірності для задаються функцією розподілу постійної на випадкову змінну", $\bar X_n$ $\bar X_n$
$\bar X_n$ $1$

Ж_{1} (х) = {\begin{cases} 1 х \geq 1 \\ 0 х < 1 \end{cases} ⟹ Ж_{1} (1) = 1

$F_1(x) = \cases {1 \;\;\;\;x\geq 1 \\ 0 \;\;\;\;x<1} \implies F_1(1) = 1$

... так ... $\lim_{n\to \infty} F_{\bar X_n}(1) = F_1(1) = 1$

... і ми просто помилилися . Чому? Тому що, як @AlexR. Відповідь зазначається : "конвергенція в розподілі" охоплює лише точки безперервності функції обмеження обмеження. І - точка розриву для . Це означає, що може дорівнювати але може бути і ні , не заперечуючи "конвергенцію розподілу до постійної" імплікації LLN . $1$ $F_1$ $\lim_{n\to \infty} F_{\bar X_n}(1)$ $F_1(1)$

А оскільки з підходу CLT ми знаємо, яке значення повинно бути ( ). Я не знаю способу прямо довести, що . $1/2$ $\lim_{n\to \infty} F_{\bar X_n}(1) = 1/2$

Ми дізналися щось нове?

Я зробив. LLN стверджує, що

lim_{н \to \infty} П (| {\bar{Х}}_{н} - 1 | ⩽ ε) = 1 для усіх ε > 0

$\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \Big( |\bar{X}_n - 1| \leqslant \varepsilon \Big) = 1 \quad \quad \text{for all } \varepsilon > 0$

⟹ lim_{н \to \infty} [П (1 - ε < {\bar{Х}}_{н} \leq 1) + П (1 < {\bar{Х}}_{н} \leq 1 + ε)] = 1

$\implies \lim_{n \rightarrow \infty} \Big[ \mathbb{P} \Big( 1-\varepsilon <\bar{X}_n \leq 1\Big) + \mathbb{P} \Big( 1 <\bar{X}_n \leq 1+\varepsilon\Big)\Big] = 1$

⟹ lim_{н \to \infty} [П ({\bar{Х}}_{н} \leq 1) + П (1 < {\bar{Х}}_{н} \leq 1 + ε)] = 1

$\implies \lim_{n \rightarrow \infty} \Big[ \mathbb{P} \Big(\bar{X}_n \leq 1\Big) + \mathbb{P} \Big( 1 <\bar{X}_n \leq 1+\varepsilon\Big)\Big] = 1$

LLN не говорить про те, як розподіляється ймовірність в інтервалі . Що я дізнався, це те, що в даному класі результатів конвергенції ймовірність знаходиться на межі, розподіленій порівну з двох сторін центральної точки інтервалу згортання. $(1-\varepsilon, 1+\varepsilon)$

Загальне твердження тут, припустимо

Х_{н} \to_{p} θ, год (н) (Х_{н} - θ) \to_{г} D (0, V)

$X_n\to_p \theta,\;\;\; h(n)(X_n-\theta) \to_d D(0,V)$

де деякий rv з функцією розподілу . Потім $D$ $F_D$

lim_{н \to \infty} П [Х_{н} \leq θ] = lim_{н \to \infty} П [год (н) (Х_{н} - θ) \leq 0] = Ж_{D} (0)

$\lim_{n\to \infty} \mathbb P[X_n \leq \theta] = \lim_{n\to \infty}\mathbb P[h(n)(X_n-\theta) \leq 0] = F_D(0)$

... що може не дорівнювати (функція розподілу постійної rv). $F_{\theta}(0)$

Також це вагомий приклад того, що коли функція розподілу обмежувальної випадкової величини має розриви, то "конвергенція розподілу до випадкової величини" може описувати ситуацію, коли "обмежуючий розподіл" може не погоджуватися з "розподілом обмежуючої величини" випадкова величина "в точках розриву. Строго кажучи, обмежуючим розподілом для точок безперервності є постійне випадкове змінне. Для точок розриву ми можемо обчислити граничну ймовірність як "окремі" сутності.

— Алекос Пападопулос
джерело

Перспектива "засвоєного уроку" цікава, і це хороший, не надто складний приклад для дидактичного застосування. Хоча мені цікаво, яке саме (пряме) практичне застосування має ця думка про нескінченне, бо врешті-решт на практиці

n \neq \infty

$n \neq \infty$

— Секст Емпірік

@MartijnWeterings Martijn, мотивація тут, безумовно, була навчальною, а) як попередження про розриви навіть у такій "плоскій" ситуації, як конвергенція до константи, і так взагалі (вони руйнують рівномірну конвергенцію, наприклад), і b) результат того, як розподіляється маса ймовірності, стає цікавим, коли послідовність, яка сходиться по ймовірності до константи, все ще має ненульову дисперсію.

— Алекос Пападопулос

Можна сказати, що CLT, скажімо, про конвергенцію до обмежувальної нормальної розподіленої змінної (таким чином, ми можемо виразити такі речі, як ), але LLN дозволяє лише сказати, що, збільшуючи розмір вибірки, ми наближаємось до істинної середньої, але це не говорить про те, що ми отримуємо з більшою ймовірністю «точно рівну середній вибірці». LLN означає, що середнє значення вибірки стає все ближче та ближче до граничного значення, але не (з більшою ймовірністю), рівного йому. LLN нічого не говорить про

F (x)

$F(x)$

F (x)

$F(x)$

— Sextus Empiricus

Оригінальні думки навколо LLN там, де насправді навпаки (див. Міркування Arbuthnot stats.stackexchange.com/questions/343268 ). "З сказаного видно, що при дуже великій кількості кісток, лот А стане дуже маленьким ... Буде лише невелика частина всіх можливих шансів, оскільки це станеться в будь-який визначений час, повинна народитися рівна кількість чоловіків і жінок ".

— Секст Емпірік