Припустимо, у мене є учасників, кожен з яких дає відповідь 20 разів, 10 в одній умові та 10 в іншій. Я підходить до лінійної моделі змішаних ефектів, порівнюючи в кожній умові. Ось відтворюваний приклад, що моделює цю ситуацію за допомогою пакета у :Y $N$$Y$$Y$lme4R

library(lme4)
fml <- "~ condition + (condition | participant_id)"
d <- expand.grid(participant_id=1:40, trial_num=1:10)
d <- rbind(cbind(d, condition="control"), cbind(d, condition="experimental"))

set.seed(23432)
d <- cbind(d, simulate(formula(fml), 
                       newparams=list(beta=c(0, .5), 
                                      theta=c(.5, 0, 0), 
                                      sigma=1), 
                       family=gaussian, 
                       newdata=d))

m <- lmer(paste("sim_1 ", fml), data=d)
summary(m)

Модель mдає два фіксованих ефекту (перехоплення та нахил для умови) та три випадкові ефекти (випадковий перехоплення учасника, випадковий нахил учасника для умови та кореляція перехрестя-нахилу).

Я хотів би статистично порівняти розмір дисперсії випадкового перехоплення за учасником у групах, визначених condition(тобто обчислити компонент дисперсії, виділений червоним кольором окремо в контрольних та експериментальних умовах, а потім перевірити, чи різниця у розмірі компонентів дорівнює нулю). Як би я це зробив (бажано в R)?

---

БОНУС

Скажімо, модель дещо складніша: кожен учасник відчуває 10 подразників 20 разів кожен, 10 в одній умові та 10 в іншій. Таким чином, існує два набори схрещених випадкових ефектів: випадкові ефекти для учасника та випадкові ефекти для стимулу. Ось відтворюваний приклад:

library(lme4)
fml <- "~ condition + (condition | participant_id) + (condition | stimulus_id)"
d <- expand.grid(participant_id=1:40, stimulus_id=1:10, trial_num=1:10)
d <- rbind(cbind(d, condition="control"), cbind(d, condition="experimental"))

set.seed(23432)
d <- cbind(d, simulate(formula(fml), 
                       newparams=list(beta=c(0, .5), 
                                      theta=c(.5, 0, 0, .5, 0, 0), 
                                      sigma=1), 
                       family=gaussian, 
                       newdata=d))

m <- lmer(paste("sim_1 ", fml), data=d)
summary(m)

Я хотів би статистично порівняти величину випадкової дисперсії перехоплення між учасниками у групах, визначених condition. Як би я це зробив, і чи відрізняється процес від описаного вище?

---

EDIT

Щоб бути трохи більш конкретним щодо того, що я шукаю, я хочу знати:

1. Чи є питання "чи середньо-умовні відповіді в кожній умові (тобто випадкові значення перехоплення в кожній умові) істотно відрізняються один від одного, за винятком того, що ми могли б очікувати через помилку вибірки"? навіть теоретично відповідальний)? Якщо ні, то чому б і ні?
2. Якщо відповідь на питання (1) - так, то як би я відповів на це? Я вважаю за краще Rреалізацію, але я не прив'язаний до lme4пакету - наприклад, здається, що OpenMxпакет має можливість вмістити багатогруповий та багаторівневий аналізи ( https: //openmx.ssri.psu). edu / openmx-особливості ), і це виглядає як таке питання, яке повинно відповідати в рамках SEM.

Існує не один спосіб перевірити цю гіпотезу. Наприклад, процедура, окреслена @amoeba, повинна працювати. Але мені здається, що найпростішим, найбільш доцільним способом перевірити це є тестування старого хорошого коефіцієнта ймовірності порівняння двох вкладених моделей. Єдина потенційно складна частина цього підходу полягає в тому, щоб знати, як налаштувати пару моделей, щоб випадання одного параметра дозволило чітко перевірити бажану гіпотезу про неоднакові дисперсії. Нижче я пояснюю, як це зробити.

Коротка відповідь

Переключіться на контрастне (суми до нуля) кодування для вашої незалежної змінної, а потім зробіть тест коефіцієнта ймовірності, порівнюючи вашу повну модель з моделлю, яка змушує кореляцію між випадковими нахилами та випадковими перехопленнями до 0:

# switch to numeric (not factor) contrast codes
d$contrast <- 2*(d$condition == 'experimental') - 1

# reduced model without correlation parameter
mod1 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast || participant_id), data=d)

# full model with correlation parameter
mod2 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast | participant_id), data=d)

# likelihood ratio test
anova(mod1, mod2)

Візуальне пояснення / інтуїція

Для того, щоб ця відповідь мала сенс, потрібно мати інтуїтивне розуміння того, що різні значення параметра кореляції означають для спостережуваних даних. Розглянемо (випадково змінюються) регресійні лінії, що залежать від предмета. В основному, параметр кореляції контролює, чи регресійні лінії учасника "вентилятор направо" (позитивна кореляція) або "вентилятор зліва" (від'ємна кореляція) щодо точки $X=0$ , де X - ваш кодований контраст незалежний змінна. Будь-яке з них передбачає неоднакове розходження в умовно-середніх відповідях учасників. Це проілюстровано нижче:

У цьому сюжеті ми ігноруємо численні спостереження, які ми маємо за кожним суб'єктом у кожній умові, і замість цього просто побудуємо два випадкових засоби кожного суб'єкта з лінією, що з'єднує їх, представляючи випадковий нахил цього суб'єкта. (Це складені дані з 10 гіпотетичних суб'єктів, а не дані, розміщені в ОП.)

У стовпці ліворуч, де є сильна від'ємна кореляція нахилу-перехрестя, лінії регресії випромінюються вліво відносно точки $X=0$ . Як видно на малюнку, це призводить до більшої розбіжності у випадкових засобах випробовуваних в умові $X=-1$ ніж в умові $X=1$ .

У стовпці праворуч зображено зворотне дзеркальне зображення цього малюнка. У цьому випадку існує більша дисперсія у випадкових засобах випробовуваних у умові $X=1$ ніж у умові $X=-1$ .

У стовпці в середині показано, що відбувається, коли випадкові нахили та випадкові перехоплення некорельовані. Це означає, що лінії регресії випромінюються ліворуч рівно стільки, скільки вони вентилятора праворуч, відносно точки $X=0$ . Це означає, що дисперсії засобів суб'єктів у двох умовах рівні.

Тут важливо, що ми використовували контрастну схему кодування за сумою до нуля, а не фіктивні коди (тобто не встановлюючи групи на $X=0$ проти $X=1$ ). Це тільки по схемі кодування контрастною , що у нас є це співвідношення , в якому відхилення дорівнює тоді і тільки тоді , коли нахил відсікається кореляції дорівнює 0. На малюнку нижче намагається побудувати що інтуїція:

Цей показник показує той самий точний набір даних в обох стовпцях, але з незалежною змінною кодується двома різними способами. У колонці зліва ми використовуємо контрастні коди - саме така ситуація є з першої цифри. У стовпці праворуч ми використовуємо фіктивні коди. Це змінює значення перехоплення - тепер перехоплення представляють передбачувані відповіді суб'єктів у контрольній групі. На нижній панелі показано наслідок цієї зміни, а саме те, що кореляція нахилу-перехрестя вже ніде не наближається до 0, хоча дані в глибокому розумінні однакові і умовні відхилення в обох випадках рівні. Якщо це все ще не має великого сенсу, вивчення цієї попередньої моєї відповіді, де я розповім більше про це явище, може допомогти.

Доказ

Нехай $y_{ijk}$ - $j$ а відповідь $i$ го предмета за умови $k$ . (У нас тут лише дві умови, тому $k$ - це просто 1 або 2.) Тоді змішану модель можна записати

$$y_{ijk} = \alpha_i + \beta_ix_k + e_{ijk},$$ де $\alpha_i$ є суб'єктами ' випадкові перехоплення і мають дисперсію $\sigma^2_\alpha$ , $\beta_i$- випадковий нахил випробовуваних і має дисперсію $\sigma^2_\beta$ , $e_{ijk}$ - термін помилки рівня спостереження, а $\text{cov}(\alpha_i, \beta_i)=\sigma_{\alpha\beta}$ .

Хочемо показати, що

$$\text{var}(\alpha_i + \beta_ix_1) = \text{var}(\alpha_i + \beta_ix_2) \Leftrightarrow \sigma_{\alpha\beta}=0.$$

Починаючи з лівої частини цього значення, ми маємо

$$\begin{aligned} \text{var}(\alpha_i + \beta_ix_1) &= \text{var}(\alpha_i + \beta_ix_2) \\ \sigma^2_\alpha + x^2_1\sigma^2_\beta + 2x_1\sigma_{\alpha\beta} &= \sigma^2_\alpha + x^2_2\sigma^2_\beta + 2x_2\sigma_{\alpha\beta} \\ \sigma^2_\beta(x_1^2 - x_2^2) + 2\sigma_{\alpha\beta}(x_1 - x_2) &= 0. \end{aligned}$$

$x_1 + x_2 = 0$$x_1^2 = x_2^2 = x^2$

$$\begin{aligned} \sigma^2_\beta(x^2 - x^2) + 2\sigma_{\alpha\beta}(x_1 + x_1) &= 0 \\ \sigma_{\alpha\beta} &= 0, \end{aligned}$$

$\sigma_{\alpha\beta} = 0$

$x_1=0$$x_2=1$

$$\text{var}(\alpha_i) = \text{var}(\alpha_i + \beta_i) \Leftrightarrow \sigma_{\alpha\beta} = -\frac{\sigma^2_\beta}{2}.$$

Ви можете перевірити значущість параметрів моделі за допомогою оцінених довірчих інтервалів, для яких пакет lme4 має confint.merModфункцію.

завантажувальна програма (див., наприклад, Інтервал впевненості з завантажувальної програми )

> confint(m, method="boot", nsim=500, oldNames= FALSE)
Computing bootstrap confidence intervals ...
                                                           2.5 %     97.5 %
sd_(Intercept)|participant_id                         0.32764600 0.64763277
cor_conditionexperimental.(Intercept)|participant_id -1.00000000 1.00000000
sd_conditionexperimental|participant_id               0.02249989 0.46871800
sigma                                                 0.97933979 1.08314696
(Intercept)                                          -0.29669088 0.06169473
conditionexperimental                                 0.26539992 0.60940435 

профіль ймовірності (див. наприклад, яка залежність між вірогідністю профілю та довірчими інтервалами? )

> confint(m, method="profile", oldNames= FALSE)
Computing profile confidence intervals ...
                                                          2.5 %     97.5 %
sd_(Intercept)|participant_id                         0.3490878 0.66714551
cor_conditionexperimental.(Intercept)|participant_id -1.0000000 1.00000000
sd_conditionexperimental|participant_id               0.0000000 0.49076950
sigma                                                 0.9759407 1.08217870
(Intercept)                                          -0.2999380 0.07194055
conditionexperimental                                 0.2707319 0.60727448

---

• Існує також метод, 'Wald'але він застосовується лише для фіксованих ефектів.

• Існує також якийсь тип вираження anova (коефіцієнт ймовірності) в пакеті, lmerTestякий названий ranova. Але я, здається, не маю сенсу з цього. Розподіл відмінностей у logLikelihood, коли нульова гіпотеза (нульова дисперсія для випадкового ефекту) є істинною, не розподіляється в квадраті (можливо, коли кількість учасників і випробувань висока, тест на коефіцієнт ймовірності може мати сенс).

---

Різниця в конкретних групах

Щоб отримати результати для дисперсії в конкретних групах, ви могли б переузначити розмір

# different model with alternative parameterization (and also correlation taken out) 
fml1 <- "~ condition + (0 + control + experimental || participant_id) "

Там, де ми додали два стовпці до фрейму даних ^{(це потрібно лише в тому випадку, якщо ви хочете оцінити некорельований «контроль» та «експериментальний», функція (0 + condition || participant_id)не призведе до оцінки різних факторів у стані як некорельованих)}

#adding extra columns for control and experimental
d <- cbind(d,as.numeric(d$condition=='control'))
d <- cbind(d,1-as.numeric(d$condition=='control'))
names(d)[c(4,5)] <- c("control","experimental")

Тепер lmerдамо дисперсію для різних груп

> m <- lmer(paste("sim_1 ", fml1), data=d)
> m
Linear mixed model fit by REML ['lmerModLmerTest']
Formula: paste("sim_1 ", fml1)
   Data: d
REML criterion at convergence: 2408.186
Random effects:
 Groups           Name         Std.Dev.
 participant_id   control      0.4963  
 participant_id.1 experimental 0.4554  
 Residual                      1.0268  
Number of obs: 800, groups:  participant_id, 40
Fixed Effects:
          (Intercept)  conditionexperimental  
               -0.114                  0.439 

І ви можете застосувати методи профілів до них. Наприклад, тепер confint дає інтервали довіри для контролю та експериментальної дисперсії.

> confint(m, method="profile", oldNames= FALSE)
Computing profile confidence intervals ...
                                    2.5 %     97.5 %
sd_control|participant_id       0.3490873 0.66714568
sd_experimental|participant_id  0.3106425 0.61975534
sigma                           0.9759407 1.08217872
(Intercept)                    -0.2999382 0.07194076
conditionexperimental           0.1865125 0.69149396

---

Простота

Ви можете скористатися функцією ймовірності для отримання більш розширених порівнянь, але існує багато способів зробити наближення по дорозі (наприклад, ви могли б зробити консервативний тест anova / lrt-test, але це те, що ви хочете?).

У цей момент мене змушує замислитися, що насправді сенс цього (не настільки поширеного) порівняння між дисперсіями. Цікаво, чи не починає вона надто вишукано. Чому різниця між дисперсіями замість співвідношення між дисперсіями (що стосується класичного F-розподілу)? Чому б не просто повідомити про довірчі інтервали? Нам потрібно зробити крок назад і уточнити дані та історію, яку він повинен розповісти, перш ніж переходити до прогресивних шляхів, які можуть бути зайвими і неміцними у зв'язку зі статистичним питанням та статистичними міркуваннями, які насправді є основною темою.

Цікаво, чи варто робити набагато більше, ніж просто зазначати інтервали довіри (що насправді може означати набагато більше, ніж тест гіпотези. Тест на гіпотезу дає відповідь "так", але немає інформації про фактичне поширення населення. Надаючи достатньо даних, які ви можете внести будь-яку незначну різницю, яку слід повідомити як про значну різницю). Для більш глибокого вивчення справи (з будь-якою метою) потрібно, я вважаю, більш конкретний (вузько визначений) дослідницький питання, щоб керувати математичним механізмом, щоб зробити належні спрощення (навіть коли точний розрахунок може бути здійсненним або коли це можна наблизити за допомогою симуляції / завантаження, навіть тоді в деяких налаштуваннях все-таки потрібна відповідна інтерпретація). Порівняйте з точним тестом Фішера, щоб точно вирішити (конкретне) питання (щодо таблиць на випадок надзвичайних ситуацій),

Простий приклад

Щоб навести приклад простоти, яка можлива, я показую нижче порівняння (за допомогою моделювання) з простою оцінкою різниці між двома груповими дисперсіями на основі F-тесту, зробленого шляхом порівняння дисперсій у середніх середніх відповідях та виконаних шляхом порівняння змішані моделі отримують відхилення.

$j$

$$\hat{Y}_{i,j} \sim N(\mu_j, \sigma_j^2 + \frac{\sigma_{\epsilon}^2}{10})$$

$\sigma_\epsilon$$\sigma_{j}$$j = \lbrace 1,2 \rbrace$

Це можна побачити на моделюванні графіку нижче, коли окрім F-балу на основі вибірки F-бал розраховується на основі прогнозованих відхилень (або сум квадратичної помилки) від моделі.

^{$\sigma_{j=1} = \sigma_{j=2} = 0.5$$\sigma_\epsilon=1$}

Ви можете бачити, що є якась різниця. Ця різниця може бути пов'язана з тим, що лінійна модель змішаних ефектів отримує суми похибки квадрата (для випадкового ефекту) по-іншому. І ці терміни помилок у квадраті не (більше) добре виражені у вигляді простого розподілу Chi-квадрата, але все ще тісно пов’язані між собою і їх можна наблизити.

$\sigma_{j=1} \neq \sigma_{j=2}$$\hat{Y}_{i,j}$$\sigma_j$$\sigma_\epsilon$

^{$\sigma_{j=1} = 0.5$$\sigma_{j=2} = 0.25$$\sigma_\epsilon=1$}

Тож модель на основі засобів дуже точна. Але вона менш потужна. Це показує, що правильна стратегія залежить від того, що ви хочете / потребуєте.

^{У наведеному вище прикладі, коли ви встановлюєте правильні межі хвоста у 2.1 та 3.1, ви отримуєте приблизно 1% сукупності у випадку рівної дисперсії (респ. 103 та 104 з 10 000 випадків), але у випадку неоднакової дисперсії ці межі відрізняються багато (даючи 5334 та 6716 справ)}

код:

set.seed(23432)

# different model with alternative parameterization (and also correlation taken out)
fml1 <- "~ condition + (0 + control + experimental || participant_id) "
fml <- "~ condition + (condition | participant_id)"

n <- 10000

theta_m <- matrix(rep(0,n*2),n)
theta_f <- matrix(rep(0,n*2),n)

# initial data frame later changed into d by adding a sixth sim_1 column
ds <- expand.grid(participant_id=1:40, trial_num=1:10)
ds <- rbind(cbind(ds, condition="control"), cbind(ds, condition="experimental"))
  #adding extra columns for control and experimental
  ds <- cbind(ds,as.numeric(ds$condition=='control'))
  ds <- cbind(ds,1-as.numeric(ds$condition=='control'))
  names(ds)[c(4,5)] <- c("control","experimental")

# defining variances for the population of individual means
stdevs <- c(0.5,0.5) # c(control,experimental)

pb <- txtProgressBar(title = "progress bar", min = 0,
                    max = n, style=3)
for (i in 1:n) {

  indv_means <- c(rep(0,40)+rnorm(40,0,stdevs[1]),rep(0.5,40)+rnorm(40,0,stdevs[2]))
  fill <- indv_means[d[,1]+d[,5]*40]+rnorm(80*10,0,sqrt(1)) #using a different way to make the data because the simulate is not creating independent data in the two groups 
  #fill <- suppressMessages(simulate(formula(fml), 
  #                     newparams=list(beta=c(0, .5), 
  #                                    theta=c(.5, 0, 0), 
  #                                    sigma=1), 
  #                     family=gaussian, 
  #                     newdata=ds))
  d <- cbind(ds, fill)
  names(d)[6] <- c("sim_1")


  m <- lmer(paste("sim_1 ", fml1), data=d)
  m
  theta_m[i,] <- m@theta^2

  imeans <- aggregate(d[, 6], list(d[,c(1)],d[,c(3)]), mean)
  theta_f[i,1] <- var(imeans[c(1:40),3])
  theta_f[i,2] <- var(imeans[c(41:80),3])

  setTxtProgressBar(pb, i)
}
close(pb)

p1 <- hist(theta_f[,1]/theta_f[,2], breaks = seq(0,6,0.06))       
fr <- theta_m[,1]/theta_m[,2]
fr <- fr[which(fr<30)]
p2 <- hist(fr, breaks = seq(0,30,0.06))



plot(-100,-100, xlim=c(0,6), ylim=c(0,800), 
     xlab="F-score", ylab = "counts [n out of 10 000]")
plot( p1, col=rgb(0,0,1,1/4), xlim=c(0,6), ylim=c(0,800), add=T)  # means based F-score
plot( p2, col=rgb(1,0,0,1/4), xlim=c(0,6), ylim=c(0,800), add=T)  # model based F-score
fr <- seq(0, 4, 0.01)
lines(fr,df(fr,39,39)*n*0.06,col=1)
legend(2, 800, c("means based F-score","mixed regression based F-score"), 
       fill=c(rgb(0,0,1,1/4),rgb(1,0,0,1/4)),box.col =NA, bg = NA)
legend(2, 760, c("F(39,39) distribution"), 
       lty=c(1),box.col = NA,bg = NA)
title(expression(paste(sigma[1]==0.5, " , ", sigma[2]==0.5, " and ", sigma[epsilon]==1)))

Одним із прямих способів може бути використання тестів на коефіцієнт імовірності, anovaяк описано в lme4FAQ .

Ми починаємо з повної моделі, в якій дисперсії є необмеженими (тобто допускаються дві різні дисперсії), а потім підходить до однієї обмеженої моделі, в якій дві дисперсії вважаються рівними. Ми просто порівнюємо їх з anova()(зауважте, я встановив, REML = FALSEхоча REML = TRUEз anova(..., refit = FALSE)цілком здійсненним ).

m_full <- lmer(sim_1 ~ condition + (condition | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_full)$varcor
 # Groups         Name                  Std.Dev. Corr  
 # participant_id (Intercept)           0.48741        
 #                conditionexperimental 0.26468  -0.419
 # Residual                             1.02677     

m_red <- lmer(sim_1 ~ condition + (1 | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_red)$varcor
 # Groups         Name        Std.Dev.
 # participant_id (Intercept) 0.44734 
 # Residual                   1.03571 

anova(m_full, m_red)
# Data: d
# Models:
# m_red: sim_1 ~ condition + (1 | participant_id)
# m_full: sim_1 ~ condition + (condition | participant_id)
#        Df    AIC    BIC  logLik deviance  Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
# m_red   4 2396.6 2415.3 -1194.3   2388.6                         
# m_full  6 2398.7 2426.8 -1193.3   2386.7 1.9037      2      0.386

Однак цей тест, ймовірно, консервативний . Наприклад, FAQ задає:

Майте на увазі, що тести гіпотез на основі LRT є консервативними, коли нульове значення (наприклад, σ2 = 0) знаходиться на межі можливого простору; у найпростішому випадку (одиночна дисперсія випадкових ефектів) р-значення приблизно вдвічі більше, ніж воно повинно бути (Pinheiro та Bates 2000).

Є кілька альтернатив:

1. $\chi^2$
   

2. Моделюйте правильний розподіл за допомогою RLRsim(як це також описано у FAQ).

Я продемонструю другий варіант у наступному:

library("RLRsim")
## reparametrize model so we can get one parameter that we want to be zero:
afex::set_sum_contrasts() ## warning, changes contrasts globally
d <- cbind(d, difference = model.matrix(~condition, d)[,"condition1"])

m_full2 <- lmer(sim_1 ~ condition + (difference | participant_id), data=d, REML = FALSE)
all.equal(deviance(m_full), deviance(m_full2))  ## both full models are identical

## however, we need the full model without correlation!
m_full2b <- lmer(sim_1 ~ condition + (1| participant_id) + 
                   (0 + difference | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_full2b)$varcor
 # Groups           Name        Std.Dev.
 # participant_id   (Intercept) 0.44837 
 # participant_id.1 difference  0.13234 
 # Residual                     1.02677 

## model that only has random effect to be tested
m_red <- update(m_full2b,  . ~ . - (1 | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_red)$varcor
 # Groups         Name       Std.Dev.
 # participant_id difference 0.083262
 # Residual                  1.125116

## Null model 
m_null <- update(m_full2b,  . ~ . - (0 + difference | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_null)$varcor
 # Groups         Name        Std.Dev.
 # participant_id (Intercept) 0.44734 
 # Residual                   1.03571 

exactRLRT(m_red, m_full2b, m_null)
# Using restricted likelihood evaluated at ML estimators.
# Refit with method="REML" for exact results.
# 
#   simulated finite sample distribution of RLRT.
#   
#   (p-value based on 10000 simulated values)
# 
# data:  
# RLRT = 1.9698, p-value = 0.0719

Як ми бачимо, результати свідчать про те, що REML = TRUEми мали б отримати точні результати. Але це залишається як вправа для читача.

Щодо бонусу, я не впевнений, чи RLRsimдозволяє одночасне тестування декількох компонентів, але якщо так, то це можна зробити так само.

---

Відповідь на коментар:

$\theta_X$$\theta_0$$X$

Я не впевнений, що на це питання можна отримати розумну відповідь.

• Випадковий перехоплення дозволяє визначити різницю в загальному рівні для кожного рівня фактору групування. Наприклад, якщо залежна змінна - час відгуку, деякі учасники швидші, а інші - повільніше.
• Випадковий нахил дозволяє кожному рівню групуючого коефіцієнта визначити ідіосинкратичний ефект фактора, за яким оцінюються випадкові нахили. Наприклад, якщо фактором є конгруентність, то деякі учасники можуть мати більший ефект конгруентності, ніж інші.

То чи впливають випадкові нахили на випадковий перехоплення? У певному сенсі це може мати сенс, оскільки вони дозволяють кожному рівню групуючого фактору повністю ідіосинкратичного ефекту для кожної умови. Зрештою, ми оцінюємо два ідіосинкратичні параметри для двох умов. Однак, я вважаю, що різниця між загальним рівнем, захопленим перехопленням, і специфічним для умови ефектом, захопленим випадковим нахилом, є важливим, і тоді випадковий нахил дійсно не може вплинути на випадковий перехоплення. Однак він все ще дозволяє кожному рівню групуючого фактора ідентифікувати окремо для кожного рівня умови.

Тим не менш, мій тест все ще робить те, що хоче оригінальне запитання. Він перевіряє, чи різниця у відхиленнях між двома умовами дорівнює нулю. Якщо він дорівнює нулю, то дисперсії в обох умовах рівні. Іншими словами, лише якщо немає необхідності у випадковому нахилі, дисперсія в обох умовах однакова. Сподіваюся, це має сенс.

Ваша модель

m = lmer(sim_1 ~ condition + (condition | participant_id), data=d)

вже дозволяє різницю між суб'єктом в умові контролю відрізнятись від дисперсії між суб'єктами в експериментальному стані. Це можна зробити більш явним шляхом еквівалентної повторної параметризації:

m = lmer(sim_1 ~ 0 + condition + (0 + condition | participant_id), data=d)

Випадкова матриця коваріації тепер має більш просту інтерпретацію:

Random effects:
 Groups         Name                  Variance Std.Dev. Corr
 participant_id conditioncontrol      0.2464   0.4963       
                conditionexperimental 0.2074   0.4554   0.83

Ось ці дві дисперсії - це саме дві дисперсії, які вас цікавлять: дисперсія [попереду суб'єктів] умовно-середніх відгуків у контрольному стані та однакова в експериментальному стані. У імітованому наборі даних вони складають 0,25 та 0,21. Різниця задається методом

delta = as.data.frame(VarCorr(m))[1,4] - as.data.frame(VarCorr(m))[2,4]

і дорівнює 0,039. Ви хочете перевірити, чи він суттєво відрізняється від нуля.

EDIT: Я зрозумів, що тест на перестановку, який я описую нижче, є неправильним; він не працюватиме за призначенням, якщо засоби, що знаходяться в контрольно-експериментальному стані, не однакові (адже тоді спостереження не підлягають обміну під нулем). Можливо, буде кращою ідеєю завантажувати теми (або предмети / предмети у випадку "Бонус") та отримувати інтервал довіри для delta.

Я спробую виправити код нижче, щоб це зробити.

---

Оригінальна пропозиція на основі перестановки (неправильна)

Я часто виявляю, що можна врятувати себе багато клопоту, зробивши тест на перестановку. Дійсно, в цьому випадку налаштувати це дуже просто. Давайте перестанемо контрольно-експериментальні умови для кожного предмета окремо; то будь-яку різницю у відхиленнях слід усунути. Повторення цього багато разів призведе до нульового розподілу для відмінностей.

(Я не програмую на R; всі, будь ласка, сміливо переписуйте наступне в кращому стилі R.)

set.seed(42)
nrep = 100
v = matrix(nrow=nrep, ncol=1)
for (i in 1:nrep)
{
   dp = d
   for (s in unique(d$participant_id)){             
     if (rbinom(1,1,.5)==1){
       dp[p$participant_id==s & d$condition=='control',]$condition = 'experimental'
       dp[p$participant_id==s & d$condition=='experimental',]$condition = 'control'
     }
   }
  m <- lmer(sim_1 ~ 0 + condition + (0 + condition | participant_id), data=dp)
  v[i,] = as.data.frame(VarCorr(m))[1,4] - as.data.frame(VarCorr(m))[2,4]
}
pvalue = sum(abs(v) >= abs(delta)) / nrep

$p=0.7$nrep

Точно така ж логіка може бути застосована і у вашому бонусному випадку.

$$y_{ijk} = \mu + \alpha_j + d_{ij} + e_{ijk}, \quad d_{i} \sim N(0, \Sigma), \quad e_{ijk} \sim N(0, \sigma^2)$$ $\alpha_j$$j$$d_i = (d_{i1}, \ldots, d_{iJ})^\top$$i$$j$
$y_{i1k}$$y_{i2k}$$A$$B$$d_{i}$

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_A & \sigma_{AB}\\ \sigma_{AB} & \sigma^2_{B} \end{bmatrix}$$

$\sigma^2_A$$\sigma^2_{B}$

$\Sigma$

Варіант перехоплення, що відповідає великій середній, є

$$\sigma^2_{1} := \text{Var(grand mean)} = \text{Var}(\frac{1}{2} \cdot (A+B)) = \frac{1}{4} \cdot (\text{Var}(A) + \text{Var}(B) + 2 \cdot \text{Cov}(A,B)).$$

Варіантність контрасту є

$$\sigma^2_{2} := \text{Var(contrast)} = \text{Var}(\frac{1}{2} \cdot (A-B)) = \frac{1}{4} \cdot (\text{Var}(A) + \text{Var}(B) - 2 \cdot \text{Cov}(A,B)).$$

І коваріація між перехопленням і контрастом є

$$\sigma_{12} := \text{Cov}(\text{grand mean, contrast}) = \text{Cov}(\frac{1}{2} \cdot (A+B), \frac{1}{2} \cdot (A-B)) \\ = \frac{1}{4} \cdot (\text{Var}(A) - \text{Var}(B)).$$

$\Sigma$

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\sigma_{12} & \sigma^2_1 - \sigma^2_2\\ \sigma^2_1 - \sigma^2_2 & \sigma^2_1 + \sigma^2_2 - 2\sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_A & \sigma_{AB}\\ \sigma_{AB} & \sigma^2_{B} \end{bmatrix}.$$

$\Sigma$

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sigma^2_2 & -\sigma^2_2\\ -\sigma^2_2 & \sigma^2_2\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}\sigma_{12} & 0\\ 0 & -\sigma_{12}\end{bmatrix}.$$

$\sigma_{12}$

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sigma^2_2 & -\sigma^2_2\\ -\sigma^2_2 & \sigma^2_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 + \sigma^2_2 & \sigma^2_1 - \sigma^2_2 \\ \sigma^2_1 - \sigma^2_2 & \sigma^2_1 + \sigma^2_2\end{bmatrix}$$

яка, як походить @Jake Westfall дещо інакше, перевіряє гіпотезу рівних дисперсій, коли ми порівнюємо модель без цього параметра коваріації з моделлю, де параметр коваріації все ще включений / не встановлений на нуль.

Зокрема, введення іншого перекресленого фактора групування випадкових випадків (наприклад, стимулів) не змінює порівняння моделі, яке потрібно зробити, тобто anova(mod1, mod2)(необов'язково з аргументом, refit = FALSEколи ви використовуєте оцінку REML), де mod1і mod2визначається як @Jake Westfall.

$\sigma_{12}$$\sigma^2_2$

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix}$$

який перевіряє гіпотезу про те, що дисперсії в двох умовах рівні та що вони рівні (позитивній) коваріації між двома умовами.

---

Коли ми маємо дві умови, модель, яка відповідає матриці коваріації з двома параметрами в симетричній структурі (позитивної) сполуки, також може бути записана як

# code snippet from Jake Westfall
d$contrast <- 2*(d$condition == 'experimental') - 1

# new model
mod3 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE) 

або (використовуючи категоричну змінну / коефіцієнт condition)

mod4 <- lmer(sim_1 ~ condition + (1 | participant_id) + (1 | condition:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE)

з

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 + \sigma^2_2 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1 + \sigma^2_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sigma^2_2 & 0\\ 0 & \sigma^2_2\end{bmatrix}$$

$\sigma^2_1$$\sigma^2_2$$\Sigma$

Нижче ми бачимо , що mod1, mod3і mod4дають еквівалентні припадки:

# code snippet from Jake Westfall
d$contrast <- 2*(d$condition == 'experimental') - 1

mod1 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast || participant_id),
             data = d, REML = FALSE)

mod2 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast | participant_id),
             data = d, REML = FALSE)

# new models 
mod3 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE) 

mod4 <- lmer(sim_1 ~ condition + (1 | participant_id) + (1 | condition:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE)

anova(mod3, mod1)
# Data: d
# Models:
# mod3: sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id)
# mod1: sim_1 ~ contrast + ((1 | participant_id) + (0 + contrast | participant_id))
#      Df    AIC    BIC  logLik deviance Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
# mod3  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9                        
# mod1  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9     0      0          1

anova(mod4, mod3)
# Data: d
# Models:
# mod4: sim_1 ~ condition + (1 | participant_id) + (1 | condition:participant_id)
# mod3: sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id)
#      Df    AIC    BIC  logLik deviance Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
# mod4  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9                        
# mod3  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9     0      0          1

---

$\Sigma$

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1 + \sigma_{12}\\ \sigma^2_1 + \sigma_{12} & \sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & \sigma^2_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & \sigma_{12}\\ \sigma_{12} & 2\sigma_{12}\end{bmatrix}$$

$\sigma^2_1$$A$$\sigma^2_2$$A - B$$\sigma_{12}$

$\sigma_{12}$$\sigma^2_2$

mod4$\Sigma$