Як знайти піки в наборі даних?

Якщо у мене є набір даних, який створює такий графік, як наведено нижче, я б алгоритмічно визначити значення x показаних піків (у цьому випадку їх три):

Загальний підхід полягає в згладжуванні даних, а потім пошуку піків шляхом порівняння локального максимального фільтра з гладким . В R:

argmax <- function(x, y, w=1, ...) {
  require(zoo)
  n <- length(y)
  y.smooth <- loess(y ~ x, ...)$fitted
  y.max <- rollapply(zoo(y.smooth), 2*w+1, max, align="center")
  delta <- y.max - y.smooth[-c(1:w, n+1-1:w)]
  i.max <- which(delta <= 0) + w
  list(x=x[i.max], i=i.max, y.hat=y.smooth)
}

Його повернене значення включає аргументи локальних максимумів ( x) - це відповідає на питання - та індексує у масиви x- та y, де трапляються ці локальні максимуми ( i).

Є два параметри, які слід налаштовувати на обставини: w це половина ширини вікна, що використовується для обчислення локального максимуму. (Його значення повинно бути значно менше половини довжини масиву даних.) Невеликі значення дозволять назбирати крихітні локальні удари, тоді як більші значення перейдуть прямо над ними. Ще один - не явний в цьому коді - spanаргумент loessбільш плавного. (Зазвичай це між нулем і одиницею; він відображає ширину вікна як пропорцію діапазону значень x.) Більші значення згладжують дані більш агресивно, змушуючи локальні удари зникати зовсім.

Щоб побачити цю настройку по суті, давайте створимо невелику тестову функцію для побудови результатів:

test <- function(w, span) {
  peaks <- argmax(x, y, w=w, span=span)

  plot(x, y, cex=0.75, col="Gray", main=paste("w = ", w, ", span = ", span, sep=""))
  lines(x, peaks$y.hat,  lwd=2) #$
  y.min <- min(y)
  sapply(peaks$i, function(i) lines(c(x[i],x[i]), c(y.min, peaks$y.hat[i]),
         col="Red", lty=2))
  points(x[peaks$i], peaks$y.hat[peaks$i], col="Red", pch=19, cex=1.25)
}

Ось кілька експериментів, застосованих до деяких синтетичних, трохи шумних даних.

x <- 1:1000 / 100 - 5
y <- exp(abs(x)/20) * sin(2 * x + (x/5)^2) + cos(10*x) / 5 + rnorm(length(x), sd=0.05)
par(mfrow=c(3,1))
test(2, 0.05)
test(30, 0.05)
test(2, 0.2)

Або широке вікно (середня ділянка), або більш агресивна гладка (нижня ділянка) усувають локальні максимуми, виявлені у верхній ділянці. Найкраща комбінація тут, ймовірно, широке вікно і лише м'яке згладжування, оскільки, здається, агресивне згладжування зміщує ці вершини (див. Середину та праву точки нижньої ділянки та порівняння їх розташування з очевидними вершинами вихідних даних). У цьому прикладі w=50і span=0.05чудово справляється (не показано).

Зауважте, локальні максимуми в кінцевих точках не виявлені. Їх можна оглянути окремо. (Щоб підтримати це, argmaxповертає згладжені y-значення.)

Цей підхід має ряд переваг перед більш формальним моделюванням для роботи загального призначення:

• Він не приймає жодної заздалегідь продуманої моделі даних.

• Він може бути адаптований до характеристик даних.

• Він може бути адаптований для виявлення видів піків, які вас цікавлять.

Як я згадував у коментарі, якщо часовий ряд видається періодичним, що відповідає гармонічній регресійній моделі, це спосіб згладити функцію та визначити пік, застосовуючи перший та другий тести на похідні. Юбер вказав на непараметричний тест, який має переваги, коли є кілька піків, і функція не обов'язково періодична. Але безкоштовного обіду немає. Незважаючи на те, що є його переваги в тому, що він зазначає, можуть бути і недоліки, якщо параметрична модель підходить. Це завжди зворотний бік до використання непараметричних прийомів. Хоча це дозволяє уникнути параметричних припущень, параметричний підхід краще, коли параметричні припущення є відповідними. Його процедура також не повністю використовує структуру часових рядів у даних.

Я думаю, що, хоча доречно вказати на переваги запропонованої процедури, важливо також вказати на потенційні недоліки. І мій підхід, і Губер знаходять піки ефективно. Однак я думаю, що його процедура потребує трохи більше роботи, коли локальний максимум нижчий за раніше визначений найвищий пік.

Класичний підхід до виявлення піку в обробці сигналів такий:

1. Фільтр сигналу до певного розумного діапазону, залежно від частоти дискретизації та властивостей сигналу, наприклад, для ЕКГ, смугового фільтра IIR при 0,5-20 ГГц, фільтр нульового фази забезпечить, щоб не було введено зсув фаз (і пов'язаний з ними часовий відставання).
2. Потім можна підкреслити перетворення Гільберта або вейвлет для підкреслення піків
3. Потім може бути застосований статичний або динамічний поріг, де всі зразки вище порогу вважаються піками. У випадку динамічного порогу він зазвичай визначається як поріг N стандартних відхилень вище або нижче середньої ковзної середньої оцінки.

Інший підхід, який працює, полягає в порівнянні різко відфільтрованого високошвидкісного сигналу з сильно згладженим (низькопрохідним або серединним відфільтрованим) і застосувати крок 3.

Сподіваюся, це допомагає.