Чому сума ймовірностей при безперервному рівномірному розподілі не є нескінченною?

Функція щільності ймовірності рівномірного розподілу (безперервного) показана вище. Площа під кривою дорівнює 1 - що має сенс, оскільки сума всіх ймовірностей при розподілі ймовірностей дорівнює 1.

Формально вищевказану функцію ймовірності (f (x)) можна визначити як

1 / (ba) для x в [a, b]

і 0 в іншому випадку

Вважайте, що я повинен вибрати реальне число між (скажімо, 2) і b (скажімо, 6). Це робить рівномірну ймовірність = 0,25. Однак, оскільки на цьому проміжку існує нескінченна кількість чисел, чи не повинна сума всіх ймовірностей доходити до нескінченності? Що я оглядаю?

Чи f (x) не є ймовірністю виникнення числа x?

$f(x)$ описує щільність ймовірності, а не масу ймовірності у вашому прикладі. Загалом, для безперервних розподілів на події -The речі , які ми отримуємо ймовірності для-є діапазони значень, таких як площа під кривою від до , або з в (хоча такі діапазони не повинні бути суміжними) . Для безперервних розподілів ймовірність виникнення будь-якого одного значення, як правило, дорівнює 0.$a$$a+.1$$a$$b$

Тому що кожен доданок у підсумовуванні зважується нескінченно малим d . Важливість цього, мабуть, найлегше зрозуміти, обережно пройшовши дуже базовий приклад.$x$

Подумайте про використання підсумовування Рімана для обчислення площі під наступною прямокутною областю (прямокутник вибрано для видалення апроксимаційного аспекту підсумовування Рімана, на який тут не зосереджено увагу): ] Ми можемо обчислити область за допомогою 2 субрегіонів або за допомогою 4 субрегіонів . У випадку двох субрегіонів (позначаються ) області задаються тоді як у випадку 4 субрегіонів (позначаються ), області задаються Загальна площа в обох випадках відповідає Тепер це все досить очевидно, але це підвищує тонко важливе питання, яке полягає в тому, чому ці дві відповіді узгоджуються$A_i$

$$A_1=A_2=5\times 2 = 10$$ $B_i$ $$B_1=B_2=B_3=B_4=5\times 1 = 5$$ $$\sum_{i=1}^2 A_i = \sum_{i=1}^4B_i = 20$$ ? Інтуїтивно слід зрозуміти, що це працює, оскільки ми зменшили ширину другого набору субрегіонів. Ми могли б розглянути те ж саме з 8 підрегіонами, кожна з шириною , і знову з 16 ..., і ми могли б продовжувати цей процес, поки не будемо мати нескінченну кількість субрегіонів, кожна з невеликою шириною d . Поки все завжди правильно зважено, відповіді завжди повинні погоджуватися. Без правильного зважування підсумок справді був би просто .$0.5$$x$$\infty$

Ось чому я завжди обов'язково зазначаю студентам, що інтегралом є не просто символ , а пара символів .$\int$$\int \text dx$

Ви неправильно трактуєте розподіл ймовірностей - це нескінченна кількість нескінченно розділених ймовірностей, тому ви не можете сказати, що "ймовірність вивести значення 0,5 з (0, 1) рівномірного розподілу", тому що ця ймовірність нуль - існує нескінченна кількість можливих значень, які ви могли б отримати, і всі вони однаково вірогідні, тому однозначно ймовірність будь-якого індивідуального результату ^[1] .$\frac{1}{\infty} = 0$

Натомість ви можете подивитися на ймовірність для ряду результатів та виміряти, використовуючи області (а значить, інтеграли). Наприклад, якщо вивести з (0, 1) рівномірний розподіл (з pdf для та іншому випадку), то ймовірність що ваш результат лежить між і є$f(x) = 1$$x \in \left[0, 1\right]$$f(x) = 0$$0.2$$0.3$

$\int_{0.2}^{0.3} f(x)\ dx = \int_{0.2}^{0.3} 1\ dx = \left[x \right]_{0.2}^{0.3} = 0.3 - 0.2 = 0.1$

тобто у вас є 10% шансів отримати результат у такому діапазоні.

^[1] Вибачте за всіх людей, які перенесли інфаркти, за моє надмірне спрощення обчислення.

Як правило, ваше міркування не вдається в цьому припущенні:

Однак, оскільки на цьому проміжку існує нескінченна кількість чисел, чи не повинна сума всіх ймовірностей доходити до нескінченності?

Це математична проблема, відома ще з парадоксів Зенона Елі .

Дві його претензії були такими

1. Стріла ніколи не може досягти своєї цілі
2. Ахілл ніколи не наздожене черепаху

Вони базувались на твердженні про те, що ви можете побудувати нескінченну послідовність додатних чисел (у першому випадку, кажучи, що стріла повинна пролетіти нескінченно разів половину решти шляху до цілі, в останньому кажучи, що Ахілл має досягти положення, де раніше була черепаха, а тим часом черепаха переходить до нового положення, яке стає нашою наступною базовою базовою точкою).

Швидко вперед це призвело до виявлення нескінченних сум.

Отже, загалом сума нескінченних численних позитивних чисел не обов'язково повинна бути нескінченною ; однак, це може бути нескінченним, лише якщо (надзвичайне спрощення, вибачте за це) майже всі числа в послідовності дуже близькі до 0, незалежно від того, наскільки близько до нуля ви їх вимагаєте.

Нескінченність грає ще більше хитрощів. Порядок , в якому ви додаєте елементи послідовності важливий також і може привести до того , що зміна порядку дає різні результати!

Дослідіть трохи більше про парадокси нескінченності . Ви можете здивуватися.

$f(x)$ описує щільність ймовірності та має одиницю $\frac{p}{x}$. Отже, для даного х ви отримаєте$f(x) = \frac{1}{b-a}$ в $\frac{p}{x}$одиниці, а не р, як ви шукаєте. Якщо ви хочете p, вам потрібна функція розподілу для заданого діапазону, тобто ймовірність p x бути в межах a і b.

Сподіваюся, це має сенс.