Чи є якісь розподіли, окрім Коші, для яких середнє арифметичне зразка слідує за тим же розподілом?

Якщо слідує за розподілом Коші, то також слідує абсолютно таким же розподілом, що і ; дивись цю нитку . $X$ $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $X$

Чи має ця властивість ім'я?
Чи існують інші дистрибутиви, для яких це правда?

EDIT

Ще один спосіб задати це питання:

нехай - випадкова величина з щільністю ймовірності . $X$ $f(x)$

Нехай , де позначає спостереження г - й з . $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ $X_i$ $X$

$Y$ самого по собі можна розглядати як випадкову величину, без кондиціонування на яких - або конкретних значеннях . $X$

Якщо слідує за розподілом Коші, то функція щільності ймовірності дорівнює $X$ $Y$ $f(x)$

Чи існують інші види (нетривіальної *) функції щільності ймовірності для , в результаті яких має функцію щільності ймовірності ? $f(x)$ $Y$ $f(x)$

* Єдиний банальний приклад, про який я можу придумати, - це дельта Дірака. тобто не випадкова величина.

— Чечі Левас
джерело

Ваш заголовок має мало сенсу, оскільки "очікуване значення вибірки" - це число. Ви маєте на увазі середнє арифметичне зразка? Питання також неясне: під поняттям "розподіл" ви маєте на увазі конкретний розподіл, чи ви маєте на увазі - як пропонується термін "Коші" - сімейство розподілів? Це не незначна тонкість: відповідь повністю змінюється залежно від того, що ви маєте на увазі. Відредагуйте свою публікацію, щоб уточнити її.

— whuber

@whuber, я додав другу частину до питання, яке, сподіваємось, звужує коло можливих інтерпретацій.

— Чечі Левас

Дякую; що очищує більшу частину цього. Однак існують різні відповіді залежно від того, виправите ви чи хочете, щоб цей результат був утриманий для всіх Якщо це останнє, стан на cf або cgf важкий і призводить до готового рішення. Якщо це колишнє, то потенційно є додаткові рішення.

n

$n$

n .

$n.$

— whuber

Я думав про всі але якщо хтось хоче також здати аналіз на фіксовану , це було б ласкаво.

n

$n$

n

$n$

— Чечі Левас

Це насправді не є відповіддю, але, принаймні, не можна легко створити такий приклад із стабільного розподілу. Нам потрібно створити rv, характеристична функція якого така ж, як і його середня.

Загалом, для розіграшу в iid, cf середнього значення

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = [ϕ_{X} (t / n)]^{n}

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$ з cf одиничного rv Для стабільних розподілів з нульовим параметром нуль, у нас є де Розподіл Коші відповідає , , так що дійсно для будь-якого параметра масштабу .

ϕ_{X}

$\phi_X$

ϕ_{X} (t) = \exp {- | c t |^{α} (1 - i β sgn (t) Φ)},

$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$

Φ = {\begin{cases} \tan (\frac{π α}{2}) & α \neq 1 \\ - \frac{2}{π} \log | t | & α = 1 \end{cases}

$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$

α = 1

$\alpha=1$

β = 0

$\beta=0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

c > 0

$c>0$

Загалом, щоб отримати , здається, , тому але

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = \exp {- n {| c \frac{t}{n} |}^{α} (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) Φ)},

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

α = 1

$\alpha=1$

\begin{array}{rcl} ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) & = & \exp {- n | c \frac{t}{n} | (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))} \\ = & \exp {- | c t | (1 - i β sgn (t) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$

\log | \frac{t}{n} | \neq \log | t |

$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$

— Крістоф Ганк
джерело

Тож справедливо сказати, що на основі вашого аналізу Коші є єдиним рішенням для a = 1?

— Чечі Левас

Це моє враження від цих результатів, але я майже впевнений, що тут є люди, більш обізнані, стабільні розподіли.

— Крістоф Хенк

Вам не потрібно посилатися на теорію стабільних розподілів. Нехай є cgf, ваше рівняння - дляОскільки є рівномірною функцією і дорівнює нулю в початку, це негайно означає, що зародок в началі -

ψ = \log ϕ

$\psi=\log \phi$

ψ (t / n) = ψ (t) / n

$\psi(t/n) = \psi(t)/n$

n = 1, 2, 3, \dots .

$n=1,2,3,\ldots.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

- | c t | .

$-|ct|.$

— whuber

Чи повинна це бути прийнята відповідь? Окрім єдиний спосіб я бачу вирішити це з , що (я думаю) - дельта Дірака.

α = 1

$\alpha = 1$

α = 0

$\alpha = 0$

— Чечі Левас