Приклад невід'ємного дискретного розподілу, де середнє значення (або інший момент) не існує?

20

Я робив певну роботу в науці, і розмова прийшла з членом основної групи наукових досліджень, чи може негативна дискретна випадкова величина мати не визначений момент. Я думаю, що він правильний, але не має доказів. Чи може хтось показати / довести це твердження? (або якщо ця претензія не відповідає дійсності)

У мене немає зручного прикладу, якщо дискретна випадкова змінна має підтримку але здається, що якась дискретована версія розподілу Коші повинна слугувати прикладом для отримання невизначеного моменту. Умова негативу (можливо, включаючи ) - це те, що, здається, робить проблему складною (принаймні для мене). $\mathbb{Z}$ $0$

mathematical-statistics expected-value

— Лукас Робертс
джерело

15

Нехай CDF дорівнює за цілими числами кусочно постійною скрізь в іншому місці, і за всіх критеріїв буде CDF. Очікування є $F$ $1-1/n$ $n=1,2,\ldots,$

\int_{0}^{\infty} (1 - F (x)) d x = 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4 + \dots

$\int_{0}^\infty (1-F(x))\mathrm{d}x = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$

яка розходиться. У цьому сенсі перша мить (і тому всі вищі моменти) нескінченна. (Див. Зауваження наприкінці для подальшого опрацювання.)

Якщо вам незручно це позначення, зауважте, що для $n=1,2,3,\ldots,$

{Pr}_{F} (n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1.}

${\Pr}_{F}(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1.}$

Це визначає розподіл ймовірностей, оскільки кожен доданок є позитивним і

\sum_{n = 1}^{\infty} {Pr}_{F} (n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = lim_{n \to \infty} 1 - \frac{1}{n + 1} = 1.

$\sum_{n=1}^\infty {\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \lim_{n\to \infty} 1 - \frac{1}{n+1} = 1.$

Очікування є

\sum_{n = 1}^{\infty} n {Pr}_{F} (n) = \sum_{n = 1}^{\infty} n (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 1} = 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4 + \dots

$\sum_{n=1}^\infty n\,{\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$

яка розходиться.

Цей спосіб вираження відповіді дає зрозуміти, що всі рішення отримані за допомогою таких розбіжних рядів. Дійсно, якщо ви хочете, щоб розподіл підтримувався на деякому підмножині позитивних значень з ймовірностями підсумовуються до одиниці, то для сподівання розірвати ряд що виражає це, а саме $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots,$ $p_1, p_2, \ldots$

(a_{n}) = (x_{n} p_{n}),

$(a_n) = (x_n p_n),$

повинні мати розбіжні часткові суми.

І навпаки, кожен розбіжний ряд невід'ємних чисел пов'язаний з багатьма дискретними позитивними розподілами, що мають розбіжні очікування. $(a_n)$ Наприклад, дано ви можете застосувати наступний алгоритм для визначення послідовностей та . Почніть з встановлення і для Визначте як набір усіх що виникають таким чином, індексуйте його елементи як та визначте розподіл ймовірності на по $(a_n)$ $(x_n)$ $(p_n)$ $q_n = 2^{-n}$ $y_n = 2^n a_n$ $n=1, 2, \ldots.$ $\Omega$ $y_n$ $\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_i, \ldots\},$ $\Omega$

Pr (ω_{i}) = \sum_{n ∣ y_{n} = ω_{i}} q_{n} .

$\Pr(\omega_i) = \sum_{n \mid y_n = \omega_i}q_n.$

Це працює, тому що сума дорівнює сумі що дорівнює а має кількість позитивних елементів. $p_n$ $q_n,$ $1,$ $\Omega$

Наприклад, ряд очевидно розходиться. Алгоритм дає $(a_n) = (1, 1/2, 1, 1/2, \ldots)$

y_{1} = 2 a_{1} = 2; y_{2} = 2^{2} a_{2} = 2; y_{3} = 2^{3} a_{3} = 8; \dots

$y_1 = 2a_1 = 2;\ y_2 = 2^2 a_2 = 2;\ y_3 = 2^3 a_3 = 8; \ldots$

Таким чином

Ω = {2, 8, 32, 128, \dots, 2^{2 n + 1}, \dots}

$\Omega = \{2, 8, 32, 128, \ldots, 2^{2n+1},\ldots\}$

- множина непарних позитивних сил і $2$

p_{1} = q_{1} + q_{2} = 3 / 4; p_{2} = q_{3} + q_{4} = 3 / 16; p_{3} = q_{5} + q_{6} = 3 / 64; \dots

$p_1 = q_1 + q_2 = 3/4;\ p_2 = q_3 + q_4 = 3/16;\ p_3 = q_5 + q_6 = 3/64; \ldots$

Про нескінченні та неіснуючі моменти

Коли всі значення є позитивними, не існує такого поняття, як "невизначений" момент: моменти всі існують, але вони можуть бути нескінченними у значенні розбіжної суми (або цілісної), як показано на початку цієї відповіді.

Як правило, всі моменти визначаються для позитивних випадкових величин, тому що сума або інтеграл, який виражає їх, або зближується абсолютно, або розходяться (є "нескінченним"). На відміну від цього, моменти можуть стати невизначеними для змінних, які приймають позитивні та негативні значення , оскільки - за визначенням інтеграла Лебега - момент - це різниця між моментом позитивної частини та моментом абсолютного значення негативної частини. Якщо обидва ці безмежні, конвергенція не є абсолютною, і ви стикаєтеся з проблемою відняття нескінченності від нескінченності: цього не існує.

— об
джерело

чи дає цей аргумент приклад нескінченного моменту чи невизначеного моменту? Я шукаю невизначений момент. Можливо, є тонкість невизначеного порівняно з нескінченними моментами, яких мені не вистачає, щоб повністю зрозуміти вашу відповідь.

— Лукас Робертс

2

Коли всі цінності позитивні, не існує такого поняття, як "невизначений" момент: моменти всі існують, але вони можуть бути нескінченними.

— whuber

4

Усі моменти визначаються для позитивних випадкових величин. Деякі можуть бути нескінченними, ось і все. Моменти можуть стати невизначеними для змінних, які приймають позитивні та негативні значення, оскільки - за визначенням інтеграла Лебега - момент - це різниця між моментом позитивної частини та моментом абсолютного значення негативної частини. Якщо обидва ці нескінченні, ви стикаєтеся з проблемою відняття нескінченності від нескінченності: цього не існує.

— whuber

1

"Усі моменти визначені для позитивних випадкових величин. Деякі можуть бути нескінченними, це все". Зважаючи на те, що заголовок питання стосується моментів, які не існують , я думаю, що багато цього коментаря заслуговує на те, щоб його змінили у відповідь!

— Срібна рибка

1

Напевно, я міг би знайти відповідь, поховану в цій публікації: stats.stackexchange.com/questions/243150/…

— Лукас Робертс

39

Ось відомий приклад: Нехай бере значення з вірогідністю для кожного цілого числа . Тоді приймає значення у (підмножині) натуральних чисел; загальна маса дорівнює , але її очікування Ця випадкова величина виникає в петербурзькому парадоксі . $X$ $2^k$ $2^{-k}$ $k\ge1$ $X$ $\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}=1$

E (X) = \sum_{k = 1}^{\infty} 2^{k} P (X = 2^{k}) = \sum_{k = 1}^{\infty} 1 = \infty .

$E(X) = \sum_{k=1}^\infty 2^k P(X=2^k) = \sum_{k=1}^\infty 1 = \infty.$

X

$X$

— grand_chat
джерело

6

+1 Мені це подобається за його історичні та філософські зв’язки.

— whuber

Дозвіл парадокса: Якщо ви виграєте ∞ вас розчавлять сили G.

— Джошуа

8

Дзета розподіл є досить добре відомо дискретний розподіл на позитивних цілих чисел , які не мають кінцеве середнє значення (для ). $1<\theta\leq 2$

$P(X=x|\theta)={{\frac {1}{\zeta (\theta)}}x^{-\theta}}\,,\: x=1,2,...,\:\theta>1$

де нормалізуюча константа включає , функцію зети Рімана $\zeta(\cdot)$

(редагувати: випадок дуже схожий на відповідь Ваубера) $\theta=2$

Інша дистрибуція з подібною поведінкою хвоста - це розподіл Юля-Симона .
Іншим прикладом може бути бета-негативний біноміальний розподіл з : $0<\alpha\leq 1$

$P(X=x|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+x)}{x!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm{B} (\alpha +r,\beta +x)}{\mathrm{B} (\alpha ,\beta )}}\,,\:x=0,1,2...\:\alpha,\beta,r > 0$

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

0

деяка дискретизована версія розподілу Коші

Так, якщо взяти як середнє значення розподілу Коші в інтервалі навколо , то явно його нульовий момент такий же, як у розподілу Коші, і його перший момент асимптотично наближається до першого моменту Розбір розподілу. Що стосується "інтервалу навколо ", то насправді не має значення, як ви це визначаєте; take , , , vel cetera , і воно спрацює. За додатні цілі числа можна також взяти . момент дорівнює одиниці, а перший момент - сума , яка розходиться. $p(n)$ $n$ $n$ $(n-1,n]$ $[n,n+1)$ $[n-.5,n+.5)$ $p(n) =\frac6{(n\pi)^2}$ $\frac6{n\pi^2}$

А насправді для будь-якого многочлена існує деякий такий, що дорівнює 1. Якщо тоді взяти й момент, де - порядок , це буде розходитися. $p(n)$ $c$ $\frac c {p(n)}$ $k$ $k$ $p(n)$

— Накопичення
джерело