Яке очікуване значення логарифму розподілу гамми?

Якщо очікуване значення $\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$ дорівнює $\frac{\alpha}{\beta}$ , яке очікуване значення $\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$ ? Чи можна це обчислити аналітично?

Параметризація, яку я використовую, є швидкістю форми.

expected-value gamma-distribution

— Стефано Веспуччі
джерело

Якщо

, то відповідно до mathStatica / Mathematica,

+ PolyGamma [a], де PolyGamma позначає функцію

X \sim Gamma (a, b)

$X \sim \text{Gamma}(a,b)$

E [\log (X)] = \log (b)

$E[ \log(X) ] = \log(b)$

— digamma

Я хотів би додати , що ви не надасте Ф форми змінної Gamma, і так як ви повідомляєте про те , що середнє значення

( в той час як для мене це було б

, в цьому випадку ви використовуєте інше позначення , ніж я, де ваш

α / β

$\alpha/\beta$

a b

$a b$

β = 1 / b

$\beta= 1/b$

— вовчить

Правда, вибач. Параметризація, яку я використовую, є швидкістю форми.

Я спробую знайти його для цієї параметризації. Чи можете ви запропонувати запит щодо Mathematica / WolframAlpha?

\frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x}

${\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$

— Стефано Веспуччі

Див. Також Джонсон, Лотц та Балакришна (1994) безперервного одноманітного розподілу, том 1, 2-е вид. С. 337-349.

— Бьорн

Також дивіться Вікіпедію: Гамма-розповсюдження # Логарифмічні очікування та дисперсія

— Glen_b -Встановити Моніку

Відповіді:

Це (можливо, напрочуд) можна зробити простими елементарними операціями (використовуючи улюблений трюк Річарда Фейнмана для розрізнення під цілісним знаком щодо параметра).

Ми припускаємо, що $X$ має розподіл $\Gamma(\alpha,\beta)$ і ми хочемо знайти очікування $Y=\log(X).$ По-перше, оскільки $\beta$ - параметр масштабу, його ефектом буде зміщення логарифму на $\log\beta.$ (Якщо ви використовуєте $\beta$ як параметр швидкості , як у питанні, він змістить логарифм на $-\log\beta.$ ) Це дозволяє нам працювати з випадком $\beta=1.$

Після цього спрощення елемент ймовірності $X$ є

f_{X} (x) = \frac{1}{Γ (α)} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x}

$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$

де $\Gamma(\alpha)$ - нормалізуюча константа

Γ (α) = \int_{0}^{\infty} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x} .

$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$

Підстановка $x=e^y,$ що тягне за собою $\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$ дає елемент ймовірності $Y$ ,

f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} e^{α y - e^{y}} d y .

$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$

Можливі значення $Y$ Тепер пробігають всі речові числа $\mathbb{R}.$

Оскільки $f_Y$ повинен інтегруватися до єдності, ми отримуємо (тривіально)

\begin{matrix} (1) & Γ (α) = \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y . \end{matrix}

$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$

Помітка $f_Y(y)$ є диференційованою функцією $\alpha.$ Простий розрахунок дає

\frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y = y e^{α y - e^{y}} d y = Γ (α) y f_{Y} (y) .

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$

Наступний крок використовує відношення, отримане діленням обох сторін цієї тотожності на $\Gamma(\alpha),$ тим самим розкриваючи той самий об’єкт, який нам потрібно інтегрувати, щоб знайти очікування; а саме, $y f_Y(y):$

\begin{aligned} E (Y) & = \int_{R} y f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{R} \frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} Γ (α) \\ = \frac{d}{d α} \log Γ (α) \\ = ψ (α), \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$

логарифмічна похідна гамма-функції ( відома також як « полігама »). Інтеграл був обчислений з використанням ідентичності $(1).$

Повторне введення коефіцієнта $\beta$ показує, що загальний результат є

E (\log (X)) = \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$

для параметризації шкали (де функція щільності залежить від $x/\beta$ ) або

E (\log (X)) = - \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$

для параметризації швидкості (де функція щільності залежить від $x\beta$ ).

— дзижчати
джерело

Під функцією полігамми ви маєте на увазі, у якому порядку (наприклад, 0,1) є дигамма (як зазначає @wolfies), тригамма?

— Стефано Веспуччі

@ Стефано Я маю на увазі логарифмічну похідну гами, як зазначено. Це означає, що

ψ (z) = Γ^{'} (z) / Γ (z) .

$\psi(z) = \Gamma^\prime(z)/\Gamma(z).$

— whuber

Відповідь @whuber досить приємна; Я, по суті, пересвідчую його відповідь у більш загальній формі, яка краще (на мою думку) пов'язує статистичну теорію і чітко пояснює силу загальної методики.

Розглянемо сімейство розподілів $\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$ які складають експоненціальне сімейство , тобто вони допускають щільність

f_{θ} (x) = \exp {s (x) θ - A (θ) + h (x)}

$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$ відносно до якоїсь загальної домінуючої міри (зазвичай, Лебега чи міри підрахунку). Диференціюючи обидві сторони

\int f_{θ} (x) d x = 1

$\int f_\theta(x) \ dx = 1$ щодо

θ

$\theta$ ми приходимо дорахунку рівняння

\begin{matrix} (†) & \int f_{θ}^{'} (x) = \int \frac{f_{θ}^{'} (x)}{f_{θ} (x)} f_{θ} (x) = \int u_{θ} (x) f_{θ} (x) d x = 0 \end{matrix}

$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$ де

u_{θ} (x) = \frac{d}{d θ} \log f_{θ} (x)

$u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$ - цеоцінка,і ми визначили

f_{θ}^{'} (x) = \frac{d}{d θ} f_{θ} (x)

$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$ . У випадку експоненціальної родини маємо

u_{θ} (x) = s (x) - A^{'} (θ)

$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$ де

A^{'} (θ) = \frac{d}{d θ} A (θ)

$A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$ ; це іноді називаютькумулятивною функцією, оскільки це, очевидно, дуже тісно пов'язане з функцією, що генерує кумулянт. Тепер з

(†)

$(\dagger)$ випливає,що

E_{θ} [s (X)] = A^{'} (θ)

$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$ .

Тепер ми показуємо, що це допомагає нам обчислити очікувані потреби. Можна записати щільність гамми з фіксованим $\beta$ як експонентне сімейство

f_{θ} (x) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x} = \exp {\log (x) α + α \log β - \log Γ (α) - β x} .

$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$ $\alpha$

s (x) = \log x

$s(x) = \log x$

A (α) = \log Γ (α) - α \log β

$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$ . It now follows immediately by computing

\frac{d}{d α} A (α)

$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$ that

E [\log X] = ψ (α) - \log β .

$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$

— guy
джерело

+1 Thank you for pointing out this nice generalization.

— whuber