Які процеси можуть генерувати розподілені по Лапласу (подвійні експоненціальні) дані чи параметри?

16

Багато розповсюджень мають "міфи про походження" або приклади фізичних процесів, які вони добре описують:

Ви можете отримати нормально розповсюджені дані з сум некорельованих помилок за допомогою теореми центрального граничного рівня
Ви можете отримати біноміально розподілені дані від незалежних фліп монет або розподілених Пуассоном змінних з межі цього процесу
Ви можете отримувати експоненціально розподілені дані з часу очікування при постійній швидкості занепаду.

І так далі.

А як щодо розподілу Лапласа ? Це корисно для регуляризації L1 та регресії LAD , але мені важко думати про ситуацію, коли реально слід очікувати, щоб побачити це в природі. Дифузія була б гауссова, і всі приклади, які я можу придумати з експоненціальними розподілами (наприклад, тривалістю очікування), містять негативні значення.

distributions laplace-distribution

— Девід Дж. Харріс
джерело

2

Пов'язаний: stats.stackexchange.com/questions/71126 / ... .

— StubbornAtom

14

У нижній частині сторінки Вікіпедії, яку ви пов’язали, є кілька прикладів:

Якщо і - експоненціальні розподіли IID, має розподіл Лапласа. $X_1$ $X_2$ $X_1 - X_2$
Якщо - стандартні нормальні розподіли IID, має стандартний розподіл Лапласа. Отже, визначник випадкової матриці зі стандартними нормальними записами IID має розподіл Лапласа. $X_1, X_2, X_3, X_4$ $X_1X_4 - X_2X_3$ $2\times 2$ $\begin{pmatrix}X_1 & X_2 \\\ X_3 & X_4 \end{pmatrix}$
Якщо є рівномірними IID на , то $X_1, X_2$ $[0,1]$ має стандартний розподіл Лапласа. $\log \frac{X_1}{X_2}$

— Дуглас Заре
джерело

16

+1 Можливо, варто зауважити, що всі три приклади дійсно однакові: # 2 можна переписати як

, масштабована різниця двох масштабованих

((X_{1} + X_{4})^{2} + (X_{2} + X_{3})^{2} - [(X_{1} - X_{4})^{2} + (X_{2} - X_{3})^{2}]) / 4

$((X_1+X_4)^2 + (X_2+X_3)^2 - [(X_1-X_4)^2 + (X_2-X_3)^2])/4$

χ^{2} (2)

$\chi^2(2)$ (Експоненціальні) розподіли, а №3 - різниця двох Експоненціальних розподілів, оскільки

- Експоненційний.

\log (X_{i})

$\log(X_i)$

— whuber

2

@whuber: Дякую за це пояснення, чому визначальний показник був таким самим, як і інші! Я був здивований, побачивши це, оскільки я здогадався, що щільність детермінанта буде змінюватися плавно, як це відбувається скрізь, крім

.

0

$0$

— Дуглас Заре

2

Тому я намагаюся придумати "історію", яка б відповідала будь-якому з прикладів у Вікіпедії. Скажіть, я граю в пінбол зі своїм не менш вразливим братом. У кожну гру ми граємо по одному м'ячу. Приблизно в будь-який момент є однаковий шанс, що я (або він) втратить м'яч, і рахунок в основному є лінійною функцією, скільки часу я граю. Тоді мій рахунок (і його) можна було б змоделювати за допомогою експоненціального розподілу, і різниця між балом мого та мого брата в кожному раунді буде розподілена Лапласом. Сорт творів?

— Rasmus Bååth

2

Визначте складений геометричний розподіл як суму $N_p$ iid випадкових величин $X_N = \sum_i^{N_p} X_i$ , де $N_p$ розподілено подібно до геометричного розподілу з параметром $p$ . Припустимо, що iid випадкових величин $X_i$ має кінцеве середнє $\mu$ та дисперсію $v$ .

Гнеденко показав, що в межах $p\to 0$ складений геометричний розподіл наближається до розподілу Лапласа.

$Y:= \lim_{p\to 0} \sqrt{p} (X_N - N_p\mu) = Laplace(0,\sqrt{\frac{v}{2}})$

$Laplace(a,b)$ $\phi(x) = \frac{1}{2b} \exp\left( - \frac{|x-a|}{2b}\right)$

Б. В. Гнеденко, Граничні теореми для сум випадкової кількості позитивних незалежних випадкових величин, Зб. 6-й математичний сипозіум Берклі. Стат. Імовірний. 2, 537–549, 1970.

— danp
джерело