Сума двох нормальних продуктів

Мабуть, випадок, що якщо , то $X_i \sim N(0,1)$

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

Я бачив документи про довільні квадратичні форми, що завжди призводить до жахливих не центральних виразів у формі квадрата.

Наведені вище прості відносини мені не здаються очевидними, тому (якщо це правда!) Хтось має просте доказ сказаного?

— Корон
джерело

Елементарна послідовність кроків з використанням відомих зв’язків між розподілами та проста алгебраїчна ідентичність поляризації забезпечують елементарну та інтуїтивну демонстрацію.

Я знайшов цю ідентичність поляризації загалом корисною для міркування про та обчислення продуктів випадкових змінних, оскільки вона зводить їх до лінійних комбінацій квадратів. Це трохи схоже на роботу з матрицями, діагоналізуючи їх спочатку. (Тут більше ніж поверхневий зв’язок.)

Розподіл Лапласа - це різниця двох експоненціалів (що інтуїтивно має певний сенс, тому що Експонента - це розподіл "наполовину Лапласа"). (Посилання демонструє це шляхом маніпулювання характерними функціями, але відношення можна довести за допомогою елементарної інтеграції, що випливає з визначення різниці як згортання.)

Експоненційний розподіл (який сам по собі є розподілом ) також є (масштабованою версією розподілу a) . Коефіцієнт масштабу - . Це легко переконатися, порівнюючи PDF-файли двох дистрибутивів. $\Gamma(1)$ $\chi^2(2)$ $1/2$

$\chi^2$ розподіли отримуються природним шляхом у вигляді сум квадратів iid Нормальні розподіли (мають нульове значення). Ступені свободи, , підраховують кількість нормальних розподілів у сумі. $2$

Алгебраїчне відношення

X_{1} X_{2} + X_{3} X_{4} = [{(\frac{X_{1} + X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} + X_{4}}{2})}^{2}] - [{(\frac{X_{1} - X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} - X_{4}}{2})}^{2}]

$X_1X_2 + X_3X_4 = \left[\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3+X_4}{2}\right)^2\right] - \left[\left(\frac{X_1-X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3-X_4}{2}\right)^2\right]$

виставляє у вигляді квадратів чотирьох розподілів, кожен з яких є лінійною комбінацією стандартних нормалів. Легко перевірити, що всі чотири лінійні комбінації лінійно незалежні (і кожна з них відповідає нормальному розподілу). Таким чином, перші два доданки, які підсумовують квадрати двох однаково розподілених нормальних розподілів середнього нуля, утворюють масштабований розподіл (і його масштабний коефіцієнт саме те, що потрібно, щоб зробити його Експоненціальним розподілом), а другі два терміни незалежно також мають Експоненціальний розподіл з тієї ж причини. $X_1X_2 + X_3X_4$ $(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$ $\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

Тому , будучи різницею двох незалежних експоненціальних розподілів, має (стандартний) розподіл Лапласа. $X_1X_2+X_3X_4$

— дзижчати
джерело

Це абсолютно приємно!

— Корон

Щойно я помітив, що на stats.stackexchange.com/a/51717/919 з'являється ще одна відповідь, заснована на функціях, що генерують моменти : див. Абзац в середньому початку "випадково" (інша назва розподілу Лапласа - "двоекспоненціальна" ). Ця нитка стосується MGF узагальнення цього питання.

— whuber

Хороша деривація, але як ви знаєте, що різниця двох незалежних експоненціально розподілених змінних має лапласіанський розподіл?

— HelloGoodbye

@Hello Перейдіть за посиланням: воно переходить до статті у Вікіпедії, яка містить коротку демонстрацію.

— whuber

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$ має характеристичну функцію яка є квадратом характерної функції стандартного продукту нормального (див. Https : //math.stackexchange.com/questions/74013/characteristic-function-of-product-of-normal-random-variables ). Затвердження випливає з того, що суми незалежних випадкових величин відносяться до продуктів характерних функцій.

ϕ_{X} (t) = \frac{1}{1 + t^{2}}

$\phi_X(t) = \frac{1}{1+t^2}$

— Михайло М
джерело

Сума двох нормальних продуктів - це Лаплас?