Негативний коефіцієнт у впорядкованій логістичній регресії

Припустимо, у нас є порядковий відповідь і набір змінних X : = [ x 1 , x 2 , x 3 ], які, на нашу думку, пояснять y . Потім робимо впорядковану логістичну регресію X (матриця проектування) на y (відповідь).$y:\{\text{Bad, Neutral, Good}\} \rightarrow \{1,2,3\}$$X:=[x_1,x_2,x_3]$$y$$X$$y$

Припустимо , що розрахунковий коефіцієнт , називають його & beta ; 1 , в впорядкованої логістичної регресії - 0,5 . Як інтерпретувати коефіцієнт шансів (АБО) e - 0,5 = 0,607 ?$x_1$$\hat{\beta}_1$$-0.5$$e^{-0.5} = 0.607$

Повинен чи я сказати , «для збільшення на 1 одиницю в , при інших рівних умовах, ймовірність спостереження Добре в 0,607 рази шанси спостереження Bad ∪ Нейтральна , і для того ж зміни х 1 , шанси спостереження Нейтральне ∪ Добре є 0.607 разів шанси спостерігати за поганим "?$x_1$$\text{Good}$$0.607$$\text{Bad}\cup \text{Neutral}$$x_1$$\text{Neutral} \cup \text{Good}$$0.607$$\text{Bad}$

Я не можу знайти жодного прикладу інтерпретації негативного коефіцієнта у своєму підручнику чи Google.

Ви на правильному шляху, але завжди перегляньте документацію програмного забезпечення, яке ви використовуєте, щоб побачити, яка модель насправді підходить. Припустимо ситуацію з категорично залежною змінною із упорядкованими категоріями 1 , … , g , … , k та предикторами X 1 , … , X j , … , X p .$Y$$1, \ldots, g, \ldots, k$$X_{1}, \ldots, X_{j}, \ldots, X_{p}$

"У дикій природі" ви можете зіткнутися з трьома еквівалентними варіантами написання теоретичної моделі пропорційних коефіцієнтів з різними значеннями параметри, що маються на увазі:

1. $\text{logit}(p(Y \leqslant g)) = \ln \frac{p(Y \leqslant g)}{p(Y > g)} = \beta_{0_g} + \beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p} \quad(g = 1, \ldots, k-1)$
2. $\text{logit}(p(Y \leqslant g)) = \ln \frac{p(Y \leqslant g)}{p(Y > g)} = \beta_{0_g} - (\beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p}) \quad(g = 1, \ldots, k-1)$
3. $\text{logit}(p(Y \geqslant g)) = \ln \frac{p(Y \geqslant g)}{p(Y < g)} = \beta_{0_g} + \beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p} \quad(g = 2, \ldots, k)$

(Моделі 1 і 2 мають обмеження, що в окремих бінарних логістичних регресіях β j не змінюється на g , а β 0 1 < … < β 0 g < … < β 0 k - 1 , модель 3 має те саме обмеження щодо β j , і вимагає, щоб β 0 2 > … > β 0 $k-1$$\beta_{j}$$g$$\beta_{0_1} < \ldots < \beta_{0_g} < \ldots < \beta_{0_k-1}$$\beta_{j}$$\beta_{0_2} > \ldots > \beta_{0_g} > \ldots > \beta_{0_k}$)

• У моделі 1 додатний означає, що збільшення прогноктора X j пов'язане зі збільшенням шансів на нижчу категорію в$\beta_{j}$$X_{j}$ .$Y$
• Модель 1 є дещо протиборчою, тому модель 2 або 3 здається кращою у програмному забезпеченні. Тут позитивний означає, що збільшення прогноктора X j пов'язане зі збільшенням шансів на більш високу категорію в$\beta_{j}$$X_{j}$ .$Y$
• Моделі 1 і 2 призводять до однакових оцінок для , але їх оцінки для β $\beta_{0_g}$$\beta_{j}$ мають протилежні ознаки.
• Models 2 and 3 lead to the same estimates for the $\beta_{j}$, but their estimates for the $\beta_{0_g}$ have opposite signs.

$X_1$$Y = \text{Good}$$Y = \text{Neutral OR Bad}$$e^{\hat{\beta}_{1}} = 0.607$$X_1$$Y = \text{Good OR Neutral}$$Y = \text{Bad}$$e^{\hat{\beta}_{1}} = 0.607$

Ось кілька додаткових ілюстрацій для моделі 1 с $k = 4$категорій. По-перше, припущення про лінійну модель для кумулятивних логітів з пропорційними коефіцієнтами. По-друге, мається на увазі ймовірність ймовірності спостереження у більшості категорій$g$. Ймовірності йдуть за логістичними функціями з однаковою формою.

Для самих імовірностей категорії зображена модель передбачає такі впорядковані функції:

PS Наскільки мені відомо, модель 2 використовується як у SPSS, так і в R функціях MASS::polr()та ordinal::clm(). Модель 3 використовується у функціях R rms::lrm()та VGAM::vglm(). На жаль, я не знаю про SAS та Stata.