Як я можу перевірити, чи оцінюються два параметри в одній моделі значно?

У мене є модель

$$y=x^a \times z^b + e$$

де - залежна змінна, і - пояснювальні змінні, і - параметри, а - термін помилки. У мене є оцінки параметрів і і матриця коваріації цих оцінок. Як перевірити, чи і значно відрізняються?$y$$x$$z$$a$$b$$e$$a$$b$$a$$b$

Оцінка гіпотези про те, що і різні, еквівалентна тестуванню нульової гіпотези$a$$b$$a - b = 0$ (проти альтернативи, що ).$a-b\ne 0$

Наступний аналіз передбачає, що ви розумно оцінювати як Він також приймає вашу модельну формулювання (яка часто є розумною), яка - оскільки помилки є адитивною (і навіть може спричинити негативні спостережувані значення ) - не дозволяє нам лінеаризувати її , приймаючи логарифми обох сторін.$a-b$

$$U = \hat a - \hat b.$$ у$y$

Дисперсія може бути виражено в термінах матриці коваріації з як$U$$(c_{ij})$$(\hat a, \hat b)$

$$\operatorname{Var}(U) = \operatorname{Var}(\hat a - \hat b) = \operatorname{Var}(\hat a) + \operatorname{Var}(\hat b) - 2 \operatorname{Cov}(\hat a, \hat b) = c_{11} + c_{22} - 2c_{12}^2.$$

Коли є оцінена з методом найменших квадратів, один , як правило , використовує «T тест;» тобто розподіл апроксимується розподілом Стьюдента t з ступенями свободи (де - кількість даних, а - кількість коефіцієнтів ). Незалежно, зазвичай є основою будь-якого тесту. Ви можете виконати тест Z (коли великий або коли відповідає максимальна ймовірність), або завантажити його, наприклад.$(\hat a, \hat b)$т = U / √

$$t = U / \sqrt{\operatorname{Var(U)}}$$ n-2n2tn$n-2$$n$$2$$t$$n$

Щоб бути конкретним, р-значення t тесту задається через

$$p = 2t_{n-2}(-|t|)$$

де - функція розподілу Стьюдента t (кумулятивна). Це один вираз для "області хвоста:" шанс, що змінна Стьюдента t (з ступенів свободи) дорівнює або перевищує розмір тестової статистики,$t_{n-2}$$n-2$$|t|.$

---

Більш загально, для чисел та ви можете використовувати абсолютно однаковий підхід для перевірки будь-якої гіпотези$c_1,$ $c_2,$$\mu$

$$H_0: c_1 a + c_2 b = \mu$$

проти двосторонньої альтернативи. (Це охоплює особливий, але широко розповсюджений випадок "контрасту" .) Використовуйте оцінену матрицю дисперсії щоб оцінити дисперсію та сформувати статистику$(c_{ij})$$U = c_1 a + c_2 b$

$$t = (c_1 \hat a + c_2 \hat b - \mu) / \sqrt{\operatorname{Var}(U)}.$$

Викладене вище - випадок і$(c_1,c_2) = (1,-1)$$\mu=0.$

---

Щоб перевірити правильність цієї поради, я запустив наступний Rкод, щоб створити дані відповідно до цієї моделі (з нормально розподіленими помилками e), встановити їх і обчислити значення багато разів. Перевірка полягає в тому, що графік ймовірності (на основі передбачуваного розподілу Стьюдента t) уважно слідує діагоналі. Ось цей графік в симуляції розміром де (дуже невеликий набір даних, обраний тому, що розподіл далекий від нормального) і$t$$t$$500$$n=5$$t$= Ь = - 1 / 2.$a=b=-1/2.$

У цьому прикладі, принаймні, процедура прекрасно працює. Розгляньте можливість повторного запуску моделювання за допомогою параметрів (стандартне відхилення помилки) та які відображають вашу ситуацію.$a,$ $b,$ $\sigma$$n$

Ось код.

#
# Specify the true parameters.
#
set.seed(17)
a <- -1/2
b <- -1/2
sigma <- 0.25 # Variance of the errors
n <- 5        # Sample size
n.sim <- 500  # Simulation size
#
# Specify the hypothesis.
#
H.0 <- c(1, -1) # Coefficients of `a` and `b`.
mu <- 0 
#
# Provide x and z values in terms of their logarithms.
#
log.x <- log(rexp(n))
log.z <- log(rexp(n))
#
# Compute y without error.
#
y.0 <- exp(a * log.x + b * log.z)
#
# Conduct a simulation to estimate the sampling distribution of the t statistic.
#
sim <- replicate(n.sim, {
  #
  # Add the errors.
  #
  e <- rnorm(n, 0, sigma)
  df <- data.frame(log.x=log.x, log.z=log.z, y.0, y=y.0 + e)
  #
  # Guess the solution.
  #
  fit.ols <- lm(log(y) ~ log.x + log.z - 1, subset(df, y > 0))
  start <- coefficients(fit.ols) # Initial values of (a.hat, b.hat)
  #
  # Polish it using nonlinear least squares.
  #
  fit <- nls(y ~ exp(a * log.x + b * log.z), df, list(a=start[1], b=start[2]))
  #
  # Test a hypothesis.
  #
  cc <- vcov(fit)
  s <- sqrt((H.0 %*% cc %*% H.0))
  (crossprod(H.0, coef(fit)) - mu) / s
})
#
# Display the simulation results.
#
summary(lm(sort(sim) ~ 0 + ppoints(length(sim))))
qqplot(qt(ppoints(length(sim)), df=n-2), sim, 
       pch=21, bg="#00000010", col="#00000040",
       xlab="Student t reference value", 
       ylab="Test statistic")
abline(0:1, col="Red", lwd=2)