Як я можу обчислити, чи має моя лінійна регресія статистично значущу відмінність від відомої теоретичної лінії?

У мене є деякі дані, які відповідають приблизно лінійній лінії:

Коли я роблю лінійну регресію цих значень, я отримую лінійне рівняння:

В ідеальному світі рівняння повинно бути .$y = x$

Ясна річ, мої лінійні значення близькі до ідеального, але не зовсім. Моє запитання: як я можу визначити, чи є цей результат статистично значущим?

Чи суттєво відрізняється значення 0,997 від 1? Чи -0.01 суттєво відрізняється від 0? Або вони статистично однакові, і я можу зробити висновок, що з певним розумним рівнем довіри?$y=x$

Який хороший статистичний тест я можу використовувати?

Спасибі

Цей тип ситуації може бути вирішений стандартним F-тестом для вкладених моделей . Оскільки ви хочете перевірити обидва параметри проти нульової моделі з фіксованими параметрами, вашими гіпотезами є:

Тест F включає встановлення обох моделей та порівняння їх залишкової суми квадратів, які є:

Статистика тесту:

Відповідне p-значення:

Реалізація в R: Припустимо, ваші дані знаходяться у кадрі даних, викликаному DATAзмінними, що називаються yі x. F-тест можна виконати вручну за допомогою наступного коду. У використаних нами модельованих макетних даних ви бачите, що оцінені коефіцієнти близькі до значення, що містяться в нульовій гіпотезі, а p-значення тесту не показує жодних вагомих доказів для фальсифікації нульової гіпотези про те, що справжньою регресійною функцією є функція ідентичності.

#Generate mock data (you can substitute your data if you prefer)
set.seed(12345);
n    <- 1000;
x    <- rnorm(n, mean = 0, sd = 5);
e    <- rnorm(n, mean = 0, sd = 2/sqrt(1+abs(x)));
y    <- x + e;
DATA <- data.frame(y = y, x = x);

#Fit initial regression model
MODEL <- lm(y ~ x, data = DATA);

#Calculate test statistic
SSE0   <- sum((DATA$y-DATA$x)^2);
SSEA   <- sum(MODEL$residuals^2);
F_STAT <- ((n-2)/2)*((SSE0 - SSEA)/SSEA);
P_VAL  <- pf(q = F_STAT, df1 = 2, df2 = n-2, lower.tail = FALSE);

#Plot the data and show test outcome
plot(DATA$x, DATA$y,
     main = 'All Residuals',
     sub  = paste0('(Test against identity function - F-Stat = ',
            sprintf("%.4f", F_STAT), ', p-value = ', sprintf("%.4f", P_VAL), ')'),
     xlab = 'Dataset #1 Normalized residuals',
     ylab = 'Dataset #2 Normalized residuals');
abline(lm(y ~ x, DATA), col = 'red', lty = 2, lwd = 2);

Вихідні summaryдані і plotдля цих даних виглядають приблизно так:

summary(MODEL);

Call:
lm(formula = y ~ x, data = DATA)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-4.8276 -0.6742  0.0043  0.6703  5.1462 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.02784    0.03552  -0.784    0.433    
x            1.00507    0.00711 141.370   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1.122 on 998 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9524,    Adjusted R-squared:  0.9524 
F-statistic: 1.999e+04 on 1 and 998 DF,  p-value: < 2.2e-16

F_STAT;
[1] 0.5370824

P_VAL;
[1] 0.5846198

Ось класний графічний метод, який я описав із чудової книги Джуліана Фаравея "Лінійні моделі з R (друге видання)". Це одночасні 95% довірчі інтервали для перехоплення та нахилу, побудовані у вигляді еліпса.

Для ілюстрації я створив 500 спостережень зі змінною "x", що має N (середнє = 10, sd = 5) розподілу, а потім змінну "y", розподіл якої N (середнє = x, sd = 2). Це дасть співвідношення трохи більше 0,9, що може бути не таким вже й жорстким, як ваші дані.

Ви можете перевірити еліпс, щоб побачити, чи точка (перехват = 0, нахил = 1) потрапляє в межах або поза цим одночасним інтервалом довіри

library(tidyverse)
library(ellipse)
#> 
#> Attaching package: 'ellipse'
#> The following object is masked from 'package:graphics':
#> 
#>     pairs

set.seed(50)
dat <- data.frame(x=rnorm(500,10,5)) %>% mutate(y=rnorm(n(),x,2))

lmod1 <- lm(y~x,data=dat)
summary(lmod1)
#> 
#> Call:
#> lm(formula = y ~ x, data = dat)
#> 
#> Residuals:
#>     Min      1Q  Median      3Q     Max 
#> -6.9652 -1.1796 -0.0576  1.2802  6.0212 
#> 
#> Coefficients:
#>             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#> (Intercept)  0.24171    0.20074   1.204    0.229    
#> x            0.97753    0.01802  54.246   <2e-16 ***
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> Residual standard error: 2.057 on 498 degrees of freedom
#> Multiple R-squared:  0.8553, Adjusted R-squared:  0.855 
#> F-statistic:  2943 on 1 and 498 DF,  p-value: < 2.2e-16

cor(dat$y,dat$x)
#> [1] 0.9248032

plot(y~x,dat)
abline(0,1)

confint(lmod1)
#>                  2.5 %    97.5 %
#> (Intercept) -0.1526848 0.6361047
#> x            0.9421270 1.0129370

plot(ellipse(lmod1,c("(Intercept)","x")),type="l")
points(coef(lmod1)["(Intercept)"],coef(lmod1)["x"],pch=19)

abline(v=confint(lmod1)["(Intercept)",],lty=2)
abline(h=confint(lmod1)["x",],lty=2)

points(0,1,pch=1,size=3)
#> Warning in plot.xy(xy.coords(x, y), type = type, ...): "size" is not a
#> graphical parameter

abline(v=0,lty=10)
abline(h=0,lty=10)

^{Створено 2019-01-21 пакетом reprex (v0.2.1)}

Ви можете обчислити коефіцієнти з n завантаженими зразками. Це, ймовірно, призведе до нормальних розподілених значень коефіцієнта (центральна гранична теорема). З цим ви могли б побудувати (наприклад, 95%) довірчий інтервал з t-значеннями (n-1 ступінь свободи) навколо середнього. Якщо ваш ІС не включає 1 (0), він статистично значимий інакше, або точніше: Ви можете відхилити нульову гіпотезу про рівний нахил.

$\beta_0=0$$\beta_1=1$

Вам слід встановити лінійну регресію і перевірити 95% довірчі інтервали для двох параметрів. Якщо КІ нахилу включає 1, а КІ зміщення включає 0, двосторонній випробування є незначним прибл. на рівні (95%) ^ 2 - оскільки ми використовуємо два окремі тести, ризик типу I збільшується.

Використання R:

fit = lm(Y ~ X)
confint(fit)

або ви використовуєте

summary(fit)

і вирахуйте 2 інтервали сигми самостійно.