Чи мають стохастичні процеси, такі як процес Гаусса / Діріхле, щільність? Якщо ні, як можна застосувати правило Байєса до них?

Процес Поріса і Гаусса Діріхле часто називають "розподілами по функціях" або "розподілами над розподілами". У цьому випадку я можу змістовно говорити про щільність функції під GP? Тобто, чи мають процес Гаусса чи Діріхле певне поняття щільності ймовірності?

Якщо це не так, як ми можемо використовувати правило Байєса переходити до переднього, якщо поняття попередньої ймовірності функції недостатньо визначене? Чи існують такі речі, як оцінка ПДЧ чи ПДЧ у Байєсовому непараметричному світі? Дуже дякую.

"Густина" або "ймовірність" відноситься до теореми Радона-Нікодима в теорії мір. Як зазначає @ Xi'an, якщо враховувати скінченний набір так званих часткових спостережень стохастичного процесу, вірогідність відповідає звичайному поняттю похідної wrt міри Лебега. Наприклад, ймовірність виникнення Гауссового процесу, який спостерігається за відомим кінцевим набором індексів, є гауссовим випадковим вектором з його середнім коефіцієнтом, виведеним з цього процесу, який може приймати параметризовані форми.

В ідеалізованому випадку, коли за стохастичним процесом доступна нескінченна кількість спостережень, міра ймовірності знаходиться на нескінченномірному просторі, наприклад, просторі безперервних функцій, якщо стохастичний процес має безперервні шляхи. Але нічого не існує як міра Лебега щодо нескінченномірного простору, отже, немає прямого визначення ймовірності.

Для Гауссових процесів є деякі випадки, коли ми можемо визначити ймовірність, використовуючи поняття еквівалентності гауссових заходів. Важливим прикладом є теорема Гірсанова, яка широко використовується у фінансовій математиці. Це визначає ймовірність дифузії Itô $Y_t$ як похідна wrt розподіл ймовірності стандартного процесу Вінера $B_t$ визначено для $t \geq 0$. Акуратна математична експозиція знайдена в книзі Бернта Шексендала . (Майбутня) книга Саркка і Соліна надає більш інтуїтивну презентацію, яка допоможе практикуючим. Доступна блискуча математична експозиція щодо аналізу та ймовірності на нескінченномірних просторах Нейт Елдредже.

Зауважимо, що ймовірність стохастичного процесу, який би повністю спостерігався , статистики іноді називають імовірністю заповнення .