Чому розподіл Коші настільки корисний?

Чи може хтось надати мені кілька практичних прикладів розподілу Коші? Що робить його таким популярним?

Окрім корисності у фізиці, розподіл Коші зазвичай використовується у фінансових моделях для відображення відхилень прибутку від прогнозної моделі. Причиною цього є те, що практикуючі в галузі фінансів насторожено використовують моделі, у яких повернення з легкими хвостами (наприклад, нормальний розподіл) при поверненні, і вони, як правило, вважають за краще піти іншим шляхом і використовувати розподіл з дуже важкими хвостами (наприклад, , Коші). Історія фінансів усіяна катастрофічними прогнозами, заснованими на моделях, які не мали достатньо важких хвостів у своїх розподілах. Розподіл Коші має досить важкі хвости, що його моменти не існують, і тому це ідеальний кандидат дати термін помилки з надзвичайно важкими хвостами.

Зауважимо, що ця проблема жирності хвостів у помилкових термінах у фінансових моделях була одним із основних змістів популярної критики Талеба (2007) . У цій книзі Талеб вказує на випадки, коли фінансові моделі використовували звичайний розподіл для помилок, і він зазначає, що це недооцінює справжню ймовірність екстремальних подій, які особливо важливі у фінансах. (На мій погляд, ця книга дає перебільшену критику, оскільки моделі, що використовують важкі відхилення, насправді є досить поширеними у фінансах. У будь-якому випадку, популярність цієї книги свідчить про важливість проблеми.)

Стандартний розподіл Коші виходить із співвідношення двох незалежних нормальних розподілів. Якщо , і , то .$X \sim N(0,1)$$Y \sim N(0,1)$$\tfrac{X}{Y} \sim \operatorname{Cauchy}(0,1)$

Розподіл Коші важливий у фізиці (де він відомий як розподіл Лоренца), оскільки це рішення диференціального рівняння, що описує вимушений резонанс. У спектроскопії це опис форми спектральних ліній, які підлягають однорідному розширенню, при якому всі атоми взаємодіють однаково з діапазоном частот, що міститься у формі лінії.

Заявки:

• Використовується в механічній та електричній теорії, фізичній антропології та задачах вимірювання та калібрування.

• У фізиці його називають розподілом Лоренціана, де це розподіл енергії нестійкого стану в квантовій механіці.

• Також використовується для моделювання точок удару нерухомої прямої частинки, випроміненої з точкового джерела.

Джерело .