Чому дані слід переутворювати під нульовою гіпотезою під час тестування гіпотез під час завантаження?

Безпосереднє застосуванням методів бутстраповскіх для перевірки гіпотез є оцінка довірчого інтервалу тестової статистики & thetas шляхом багаторазового його розрахунку на бутстраповскіх зразках (Нехай статистика θ вибірку з початкового завантаження можна назвати ^ θ * ). Ми відкидаємо якщо гіпотезований параметр (який зазвичай дорівнює 0) лежить поза довірчим інтервалом .$\hat{\theta}$$\hat{\theta}$$\hat{\theta^*}$θ 0 ^ θ $H_0$$\theta_0$$\hat{\theta^*}$

Я читав, що цьому методу бракує певної сили. У статті Холла П. та Вілсона С.Р. "Два настанови щодо тестування гіпотез Bootstrap" (1992) написано як перше керівництво, що слід перепропонувати , а не . І це частина, яку я не розумію.^ θ * -θ$\hat{\theta^*} - \hat{\theta}$$\hat{\theta^*} - \theta_0$

Чи не те, що вимірює лише зміщення оцінювача ? Для неупереджених оцінювачів інтервали довіри цього виразу завжди повинні бути меншими, ніж , але я не бачу, що це стосується тестування на ? я не бачу, як ми помістили інформацію про .^ θ * ^ θ * -θ0 θ =θ0θ$\hat{\theta^*} - \hat{\theta}$$\hat{\theta^*}$$\hat{\theta^*} - \theta_0$$\hat{\theta}=\theta_0$$\theta_0$

Для тих із вас, хто не має доступу до цієї статті, це цитата відповідного пункту, що надходить одразу після дипломної роботи:

Щоб зрозуміти, чому це важливо, зауважте, що тест передбачає відхилення якщо в "занадто великий". Якщо - довгий шлях від справжнього значення (тобто, якщо є грубо помилкою), то різниця ніколи не буде виглядати занадто великим порівняно з непараметричним розповсюдженням завантажувальної програми. Більш змістовне порівняння - з розподілом. Насправді, якщо справжнє значення дорівнює| Θ - θ 0 | θ 0 θ H $H_0$$\left| \hat{\theta} - \theta_0\right|$$\theta_0$$\theta$$H_0$| Θ - θ 0 | | ^ | Θ - θ 0 $\left|\hat{\theta} - \theta_0 \right|$$\left| \hat{\theta} - \theta_0\right|$θθ1| θ1-θ0| | ^ Θ * - θ | | θ1-θ0$\left| \hat{\theta^*} - \hat{\theta}\right|$$\theta$$\theta_1$тоді потужність тесту завантажувальної програми збільшується до 1, якзбільшується за умови тестування на основі переупорядкування , але потужність зменшується до рівня значущості (оскільки збільшується), якщо тест базується на переустановці $\left|\theta_1 - \theta_0\right|$$\left| \hat{\theta^*} - \hat{\theta}\right|$$\left|\theta_1 - \theta_0\right|$$\left|\hat{\theta} - \theta_0\right|$

Це принцип аналогії завантажувача. (Невідомий) основний істинний розподіл дав зразок під рукою з cdf , що, в свою чергу, створило статистику для деякого функціонального . Ваша ідея використання bootstrap полягає в тому, щоб робити заяви про розподіл вибірки на основі відомого розподілу , де ви намагаєтесь використовувати ідентичний протокол вибірки (який точно можливий лише для даних iid; залежні дані завжди призводять до обмежень у тому, як точно можна відтворити процес вибірки) і застосувати той самий функціональний . Я продемонстрував це в іншому постіх 1 , ... , х п Р п θ = Т ( Р п ) Т ( ⋅ ) ~ Р Т ( ⋅ ) θ - θ 0 θ * ~ Р Т ( ⋅ ) Т ( ~ Р ) ~ Р = Р п Т ( Р п ) ≡ & thetas$F$$x_1, \ldots, x_n$$F_n$$\hat\theta=T(F_n)$$T(\cdot)$$\tilde F$$T(\cdot)$з (що я вважаю) акуратною схемою. Отже, аналог завантажувальної програми (вибірки + систематичне) відхилення , кількість вашого центрального інтересу, - це відхилення репліки завантажувача від того, що, як відомо, є правдивим для розподілу , процес вибірки, який ви застосували, і функціональний , тобто ваш показник центральної тенденції - . Якщо ви використовували стандартний непараметричний завантажувальний засіб із заміною вихідних даних, ваш , тож ваш показник центральної тенденції має бути на основі вихідних даних.$\hat\theta - \theta_0$$\hat\theta^*$$\tilde F$$T(\cdot)$$T(\tilde F)$$\tilde F=F_n$$T(F_n) \equiv \hat \theta$

Окрім перекладу, з тестами завантажувальної програми, які часом важко подолати, виникають тонкі питання. Розподіл тестової статистики під нуль може кардинально відрізнятися від розподілу тестової статистики під альтернативу (наприклад, у тестах на межі простору параметрів, які виходять з ладу під час завантаження ). Прості тести, які ви вивчаєте на бакалавратських класах, наприклад -test, є інваріантними під час зміни, але думка "Чорт, я просто перекладаю все" провалюється, як тільки вам доведеться перейти до наступного рівня концептуальної складності, асимптотичного тесту. Подумайте над цим: ви тестуєте, що , і ваш спостережуваний . Тоді, коли ви будуєте aχ 2 μ = 0 ˉ x = 0,78 χ 2 ( ˉ x - μ ) 2 / ( s 2 / n ) ≡ ˉ x 2 / ( s 2 / n ) ˉ x 2 ∗ / ( s 2 ∗ / n ) n ˉ x 2 / s $t$$\chi^2$$\mu=0$$\bar x=0.78$$\chi^2$ тест з аналогом завантаження , то цей тест з самого початку має вбудовану нецентральність , замість того, щоб бути центральним тестом, як ми би очікували. Щоб зробити тест завантажувальної програми центральним, потрібно дійсно відняти початкову оцінку.$(\bar x-\mu)^2/(s^2/n) \equiv \bar x^2/(s^2/n)$$\bar x_*^2/(s_*^2/n)$$n \bar x^2/s^2$

В випробування неминуче в різноманітних контекстах, починаючи від Pearson для таблиць спряженості в Bollen-Стін бутстрап тестової статистики в структурних моделях рівнянь. Концепцію зміщення розподілу вкрай складно визначити в цих ситуаціях ... хоча у випадку тестів на багатоваріантних матрицях коваріації це можна зробити за допомогою відповідного обертання .χ $\chi^2$$\chi^2$

Гаразд, я це зрозумів. Дякую, Стаск, за таку хорошу відповідь. Я буду прийнятим, щоб інші навчалися, але в моєму конкретному випадку мені не вистачало дуже простого факту:

Процедура завантажувального завантаження відповідно до вказівок Холла і Вілсона для простого середнього вибіркового тесту є такою (в псевдокодексі, натхненному R):

1function(data,$\theta_0$ ) {
2 thetas0←0← ^ & thetas ; * ← & thetas ; ^ & thetas ; *$\hat{\theta} \leftarrow$ t.test(data, mu = $\theta_0$ )$statistic
3 count $\leftarrow 0$
4for(i in 1:1000){
5 bdata $\leftarrow$ sample(data)
6 $\hat{\theta^*} \leftarrow$ t.test(bdata, mu = $\hat{\theta}$ )$statistic
7 if ( $\hat{\theta^*} \le \hat{\theta}$ ) count++
8 }
9 count/1000
10 }

Частина, яку я пропустив, полягала в тому, що "використовується" у рядку (де ми встановлюємо посилання ).$\theta_0$2$\hat{\theta}$

Цікаво зазначити, що в рядку 2і 6ми могли однаково легко використовувати p.valueзамість цього statistic. У такому випадку ми також повинні змінити в у рядку .$\le$$\ge$7