Var (X) відомо, як обчислити Var (1 / X)?

Якщо у мене є лише , як я можу обчислити ? $\mathrm{Var}(X)$ $\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$

У мене немає ніякої інформації про розподіл , тому я не можу використовувати перетворення, або будь-які інші методи , які використовують розподіл ймовірностей . $X$ $X$

distributions variance data-transformation

— АРАТ
джерело

Я думаю, що це може вам допомогти.

— Крістоф_J

Це неможливо.

Розглянемо послідовність $X_n$ випадкових величин, де

P (X_{n} = n - 1) = P (X_{n} = n + 1) = 0.5

$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$

Потім:

V a r (X_{n}) = 1 for all n

$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$

Але наближається до нуля, оскільки переходить до нескінченності: $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$ $n$

V a r (\frac{1}{X_{n}}) = {(0.5 (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1}))}^{2}

$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$

У цьому прикладі використовується той факт, що є інваріантним під перекладами , але - ні. $\Var(X)$ $X$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

Але навіть якщо припустити, що , ми не можемо обчислити : Нехай $\mathrm{E}(X)=0$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

P (X_{n} = - 1) = P (X_{n} = 1) = 0.5 (1 - \frac{1}{n})

$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$

P (X_{n} = 0) = \frac{1}{n} for n > 0

$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$

Тоді наближається до 1, оскільки переходить до нескінченності, але для всіх . $\Var(X_n)$ $n$ $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$ $n$

— магрон
джерело

Можна використати ряд Тейлора, щоб отримати приблизний момент мов низького порядку перетвореної випадкової величини. Якщо розподіл досить «щільний» навколо середнього значення (в певному сенсі), наближення може бути досить хорошим.

Так, наприклад

g (X) = g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots

$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$

так

\begin{array}{rcl} Var [g (X)] & = & Var [g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & Var [(X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & g^{'} (μ)^{2} Var [(X - μ)] + 2 g^{'} (μ) Cov [(X - μ), \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ + Var [\frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \end{array}

$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$

часто береться лише перший термін

Var [g (X)] \approx g^{'} (μ)^{2} Var (X)

$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$

У цьому випадку (якщо припустити, що я не помилився), з , . $g(X)=\frac{1}{X}$ $\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

Вікіпедія: розширення Тейлора на моменти функцій випадкових змінних

---

Деякі приклади для ілюстрації цього. Я згенерую два (з гамма-розподіленими) зразки в R, один з 'не надто щільним' розподілом про середній і один трохи жорсткіший.

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

Наближення говорить про те, що дисперсія повинна бути близькою до $1/a$ $(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

За алгебраїчним розрахунком фактична дисперсія популяції становить $1/648 \approx 0.00154$

Тепер для жорсткішого:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

Наближення говорить про те, що дисперсія повинна бути близькою до $1/a$ $(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

Алгебраїчний підрахунок показує, що дисперсія популяції реципрочної дорівнює . $\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

Зауважимо, що в цьому випадку досить слабка гіпотеза призводить до висновку, що середнього значення (звідки дисперсія) для буде, тобто, наближення у відповіді буде досить оманливим. :-) Прикладом гіпотези є те, що має щільність , неперервну в інтервалі навколо нуля, та таку, що . Потім випливає результат, оскільки щільність буде обмежена від нуля на певному інтервалі . Щойно наведена гіпотеза, звичайно, не найслабша.

1 / X

$1/X$

X

$X$

f

$f$

f (0) \neq 0

$f(0) \neq 0$

[- ϵ, ϵ]

$[-\epsilon,\epsilon]$

— кардинал

Причина того, що аргумент серії Тейлора не вдається, полягає в тому, що приховує залишок (помилка) терміну, який у цьому випадку і це поводиться погано навколо .

\approx

$\approx$

R (x, μ) = \frac{(x + μ) (x - μ)^{2}}{x μ},

$R(x,\mu) = \frac{(x+\mu)(x-\mu)^2}{x\mu} \>,$

x = 0

$x = 0$

— кардинал

Справді слід бути обережним щодо поведінки щільності біля 0. Зауважте, що у наведених вище прикладах гамма розподіл оберненого є оберненою гаммою, для якої для кінцевого середнього значення потрібне ( є параметром форми гама, яку ми інвертуємо). Два приклади мали та . Незважаючи на те, що (з "приємними" дистрибутивами для інвертування) нехтування вищими термінами може ввести помітний ухил.

α > 1

$\alpha>1$

α

$\alpha$

α = 10

$\alpha = 10$

α = 100

$\alpha = 100$

— Glen_b -Встановити Моніку

це здається в правильному напрямку, зворотно зміщеного нормального розподілу замість взаємного стандартного нормального розподілу: en.wikipedia.org/wiki/…

— Феліпе Г. Невінський