Чи співвідносяться випадкові змінні, якщо і лише якщо їхні ранги співвідносяться?

Припустимо, - неперервні випадкові величини з кінцевими секундами. Варіант сукупності коефіцієнта кореляції коефіцієнта кореляції Спірмена ρ_s можна визначити як коефіцієнт продуктового моменту Пірсона ρ інтегралів ймовірності, перетворює F_X (X) і F_Y (Y) , де F_X, F_Y - це cdf's X і Y , тобто$X,Y$$ρ_s$$F_X(X)$$F_Y(Y)$$F_X,F_Y$$X$$Y$

$ρ_s(X,Y)=ρ(F(X),F(Y))$ .

Цікаво, чи можна взагалі зробити такий висновок

$ρ(X,Y)≠0↔ρ(F(X),F(Y))≠0$ ?

Тобто, чи є у нас лінійна кореляція тоді і лише тоді, коли ми маємо лінійну кореляцію між рядами?

Оновлення: У коментарях наведено два приклади, чому

$\rho(F_X(X),F_Y(Y))=0\rightarrow \rho(X,Y) = 0$

взагалі не вірно, навіть якщо $X$ і $Y$ мають однаковий розподіл. Тож питання слід переформулювати як

$\rho(X,Y) = 0 \rightarrow \rho(F_X(X),F_Y(Y))$ ?

Для мене також дуже цікаво, чи це правда / помилка, якщо $X$ і $Y$ мають однаковий розподіл.

(Примітка: Якщо $X$ і $Y$ позитивно залежать від квадранта, тобто $δ(x,y)=F_{X,Y}(x,y)−F_X(x)F_Y(y)>0$ тоді формула коваріації Гефдінга Кова $Cov(X,Y)=∫∫δ(x,y)dxdy$ виходить, що $ρ(X,Y)>0$ і $ρ(F(X),F(Y))>0$ )

Жодна кореляція, яка дорівнює нулю, не обов'язково говорить вам багато про інше, оскільки вони «важать» дані - особливо крайні дані - зовсім по-іншому. Я просто збираюся зіграти з зразками, але подібні приклади можна було б побудувати з двовимірними розподілами / копулами.

1. Кореляція Спірмена 0 не означає співвідношення Пірсона 0 :

Як зазначалося в запитанні, в коментарях є приклади, але основна структура - це "побудувати випадок, коли співвідношення Спірмена дорівнює 0, потім прийміть крайню точку і зробіть її більш крайньою, не змінюючи співвідношення Спірмена".

Приклади в коментарях дуже добре висвітлюють це, але я просто збираюся зіграти з більш «випадковим» прикладом тут. Тож розглянемо ці дані (в R), які за побудовою мають кореляцію між Спірманом та Пірсоном 0:

x=c(0.660527211673069, 0.853446087136149, -0.00673848667511427, 
-0.730570343152498, 0.0519171047989013, 0.00190761493801791, 
-0.72628058443299, 2.4453231076856, -0.918072410495674, -0.364060229489348, 
-0.520696233492491, 0.659907250608776)
y=c(-0.0214697990371976, 0.255615059485107, 1.10561181413232, 0.572216886959267, 
-0.929089680725018, 0.530329993414123, -0.219422799586819, -0.425186120279194, 
-0.848952532832652, 0.859700836483046, -0.00836246690850083, 
1.43806947831794)

cor(x,y);cor(x,y,method="sp")
[1] 1.523681e-18
[1] 0

Тепер додайте 1000 до y [12] і віднімайте 0,6 від x [9]; кореляція Спірмена не змінюється, але кореляція Пірсона зараз становить 0,1841:

  ya=y
  ya[12]=ya[12]+1000
  xa=x
  xa[9]=xa[9]-.6
  cor(xa,ya);cor(xa,ya,method="sp")
[1] 0.1841168
[1] 0

(Якщо ви хочете мати велике значення для кореляції Пірсона, просто повторіть весь зразок кілька разів.)

2. Кореляція Пірсона 0 не означає кореляцію Спірмена 0 :

Ось два приклади з нульовою кореляцією Пірсона, але ненульовою кореляцією Спірмена (і знову ж таки, якщо ви хочете мати велике значення для цих співвідношень Спірмена, просто повторіть весь зразок кілька разів).

Приклад 1:

 x1=c(rep(-3.4566679074320789866,20),-2:5)
 y1=x1*x1
 cor(x1,y1);cor(x1,y1,method="spe")
[1] -8.007297e-17 
[1] -0.3512699   

Приклад 2:

 k=16.881943016134132 
 x2=c(-9:9,-k,k)
 y2=c(-9:9,k,-k)
 cor(x2,y2);cor(x2,y2,method="spe")
[1] -9.154471e-17
[1] 0.4805195

У цьому останньому прикладі співвідношення Спірмена можна посилити, додавши більше точок на y = x, зробивши дві точки вгорі ліворуч і праворуч знизу більш крайніми, щоб підтримувати кореляцію Пірсона на 0.