Чи дотримується багатоваріантна теорема центрального граничного значення (CLT), коли змінні виявляють ідеальну сучасну залежність?

Назва підсумовує моє запитання, але для наочності розглянемо наступний простий приклад. Нехай , . Визначте: і Моє запитання: Хоча і абсолютно залежні, коли , і сходяться до спільного нормального розподілу як ? $X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$ $i = 1, ..., n$

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\begin{equation} S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{equation}$

T_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i}^{2} - 1)

$\begin{equation} T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 1) \end{equation}$

S_{n}

$S_n$

T_{n}

$T_n$

n = 1

$n = 1$

\sqrt{n} S_{n}

$\sqrt{n} S_n$

\sqrt{n} T_{n}

$\sqrt{n} T_n$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

Мотивація: Моя мотивація до запитання випливає з того, що дивно (але чудово), що $S_n$ і $T_n$ ідеально залежать, коли $n = 1$ , але наслідком багатовимірного CLT є те, що вони наближаються до незалежності як $n \rightarrow \infty$ (це випливає, оскільки $S_n$ і $T_n$ є некорельованими для всіх $n$ , отже, якщо вони є асимптотично спільними нормальними, то вони також повинні бути асимптотично незалежними).

Заздалегідь дякую за будь-які відповіді чи коментарі!

ps, якщо ви можете надати будь-які посилання тощо, тоді ще краще!

— Colin T Bowers
джерело

Не відповіді, а коментаря. Я не вважаю це дуже дивним. Залежність, яку ви зазначаєте для n = 1, швидко зменшується в міру зростання n.

— Ерік

@egbutter дав прекрасну відповідь. Якщо ви все ще шукаєте якусь альтернативу чи якусь додаткову інтуїцію, напишіть мені, і я побачу, як написати щось трохи інше.

— кардинал

@cardinal Дякую дуже за пропозицію, але я дуже задоволений на даний момент - я нагородив нагороду egbutter. Я думаю, що я отримав інтуїцію. Моя головна мета в публікації полягала в тому, щоб побачити, чи хтось заскочив і сказав: "Ні, ні, ви все помилилися через ..." :-) Ура.

— Colin T Bowers

Відповіді:

Коротка відповідь, наскільки я розумію, ваш q: "так, але ..." темпи конвергенції на S, T та будь-які інші моменти необов'язково однакові - ознайомтеся з визначенням меж з теоремою Беррі-Ессена .

Якщо я неправильно розумію ваш q, Sn і Tn навіть тримаються за CLT в умовах слабкої залежності (змішування): перевірте CLT Вікіпедії на залежні процеси .

CLT - така загальна теорема - основний доказ вимагає не що інше, як характерна функція Sn і Tn сходиться до характерної функції стандартного нормального, тоді Теорема Леві Неперервності говорить, що конвергенція характерної функції передбачає збіжність розподілу.

Джон Кук надає чудове пояснення помилки CLT тут .

— напр
джерело

Дякую за відповідь. Мене насправді не турбує швидкість конвергенції, що стосується цього питання, а також чи буде CLT дотримуватися при більш загальних умовах, наприклад, залежності. На що я справді сподівався - це посилання чи твердження, яке виправдовує використання багатоваріантної CLT, коли i-й компонент кожної суми виявляє ідеальну сучасну залежність. Згодом я знайшов посилання в «Теорії стохастичних обмежень» Девідсона, де говориться про те, що багатоваріантність CLT є даною довільною сучасною залежністю, але я все ще шукаю трохи суворості навколо цього твердження.

— Colin T Bowers

Здається, що ви надмірно думаєте про це. Чи є ваші i в [1, n] "сучасними" компонентами, про які ви посилаєтесь? Якщо так, то важливим моментом є те, що ваші Sn і Tn все одно будуть зближуватися (ви можете довести це собі, використовуючи той самий метод, що і доказ CLT "old-school", згаданий вище) - але для даного i їх помилки будуть бути іншим. Це не змінює факту, який має місце CLT. Багатозначне / однозначне розрізнення не важливо.

— egbutter

Так, i - це сучасні компоненти. Гарна пропозиція щодо запуску прикладу через доказ. Я фактично зробив це, і не виявив жодних проблем, що парадоксально змусило мене нервувати. Можливо, я надто передумую речі :-) Ще раз дякую за відповідь. Якщо ніхто не має тріщини у відповіді до кінця дня, я позначу вашу відповідь. Ура.

— Colin T Bowers

Я, безумовно, можу співпереживати - я часто роблю те саме! :)

— egbutter

Це , звичайно, нічого не доводить , але я завжди вважаю, що робити імітацію та будувати графіки дуже зручно для розуміння теоретичних результатів.

Це особливо простий випадок. Ми генеруємо випадкових нормальних величин і обчислюємо і ; повторити разів. Нанесено графіки для та . Легко помітити, як залежність слабшає по мірі збільшення ; при графік майже не відрізняється від незалежності. $n$ $S_n$ $T_n$ $m$ $n = 1, 10, 100$ $1000$ $n$ $n = 100$

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))

введіть тут опис зображення

— Hong Ooi
джерело