Зв'язок між функцією, що генерує момент, і характерною функцією

Я намагаюся зрозуміти зв’язок між функцією, що генерує момент, і характерною функцією. Функція генерування моментів визначається як:

M_{X} (t) = E (\exp (t X)) = 1 + \frac{t E (X)}{1} + \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{t^{n} E (X^{n})}{n!}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

Використовуючи розширення ряду $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$ , Я можу знайти всі моменти розподілу для випадкової величини X.

Характерна функція визначається як:

φ_{X} (t) = E (\exp (i t X)) = 1 + \frac{i t E (X)}{1} - \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{(i t)^{n} E (X^{n})}{n!}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

Я не повністю розумію, яку інформацію уявне число дає мені більше. Я бачу, що і, отже, у характерній функції ми не маємо лише , але навіщо нам віднімати моменти в характерній функції? Яка математична ідея? $i$ $i^2 = -1$ $+$

— Джузеппе
джерело

| \exp (i t X) | \leq 1

$|\exp(itX)| \leq 1$

Подібність розширень Тейлора все ще дозволяє зчитувати моменти, коли вони існують, але зауважте, що не у всіх розподілах є моменти, тому інтерес до цих функцій виходить далеко за межі цього! :)

— кардинал

Іншим моментом слід зазначити, що MGF - це перетворення Лапласа випадкової величини, а CF - перетворення Фур'є. Між цими інтегральними перетвореннями існують фундаментальні зв'язки, дивіться тут .

— чакраварти

Я думав, що CF - це зворотне перетворення Фур'є (а не перетворення Фур'є) розподілу поширення?

— Джузеппе

Розрізнення - це лише питання ознаки в експоненті, а можливо, мультиплікативна константа.

— Glen_b -Встановити Моніку

$1$ . Однак функція, що генерує момент, не повинна існувати, оскільки, зокрема, вона вимагає існування моментів будь-якого порядку.

$E[e^{tX}]$ є інтегральним для всіх $t$ , ми можемо визначити $g(z):=E[e^{zX}]$ для кожного складного числа $z$ . Тоді ми це помічаємо $M_X(t)=g(t)$ і $\varphi_X(t)=g(it)$ .

— Девід Жиро
джерело