Центральні моменти симетричних розподілів

Я намагаюся показати, що центральний момент симетричного розподілу: дорівнює нулю для непарних чисел. Так, наприклад, третій центральний моментЯ почав із спроби показати, щоЯ не впевнений, куди звідси піти, якісь пропозиції? Чи є кращий спосіб довести це?

f_{x} (a + x) = f_{x} (a - x)

${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$

E [(X - u)^{3}] = 0 .

${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$

E [(X - u)^{3}] = E [X^{3}] - 3 u E [X^{2}] + 3 u^{2} E [X] - u^{3} .

${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$

mathematical-statistics expected-value moments

— користувач18262
джерело

Підказка: для простоти припустімо, що симетричний приблизно . Потім ви можете показати, що , розділивши інтеграл між і і використовуючи припущення про симетрію. Тоді ви просто повинні показати , що для . Це можна зробити ще раз, розділивши інтеграл і використовуючи аналогічний аргумент.

f

$f$

0

$0$

E [X] = u = 0

$E[X]=u=0$

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

[0, \infty)

$[0,\infty)$

E [X^{k}] = 0

$E[X^k]=0$

k = 3, 5, 7, 9, . . .

$k=3,5,7,9,...$

Але, підкажіть , будьте обережні з пропозицією @ Прокрастинатора (+1)! Інакше ви можете "довести" щось неправдиве! Вам потрібно показати, що кожен шматок розділеного інтеграла є кінцевим. (Якщо один є, інший повинен бути таким же.)

— кардинал

Яка різниця між і ?

a

$a$

u

$u$

— Генрі

@DilipSarwate Чому ти не захопиш у відповідь усі ці думки замість того, щоб шукати деталі у коментарях, які не мають намір вичерпних відповідей?

@Macro: Сором, справді. Прокрастінатор зараз приєднується до списку кількох дуже цінуваних дописувачів (на мою думку), які ми, очевидно, втратили за останні кілька місяців (або які сильно зменшили свою діяльність). З іншого боку, дуже приємно бачити ваш останній підхід до участі! Я сподіваюся, що це буде продовжуватися.

— кардинал

Ця відповідь має на меті продемонструвати максимально елементарну демонстрацію, оскільки такі речі часто доходять до суттєвої ідеї. Ці тільки факти , необхідні (крім найпростішого виду алгебраїчних маніпуляцій) є лінійність інтеграції (або, що те ж саме, очікування), зміна змінних формули для інтегралів, а аксіомою результатом , що PDF інтегрується до одиниці.

Мотивацією цієї демонстрації є інтуїція, що коли симетричний щодо , тоді внесок будь-якої величини у очікування буде мати таку ж вагу, як величина , оскільки і знаходяться на протилежних сторонах і однаково далеко від нього. Якщо за умови, що для всіх , все скасовується і очікування має бути нульовим. Отже, співвідношення між і є нашою точкою відліку. $f_X$ $a$ $G(x)$ $\mathbb{E}_X(G(X))$ $G(2a-x)$ $x$ $2a-x$ $a$ $G(x) = -G(2a-x)$ $x$ $x$ $2a-x$

Зауважте, написавши , що симетрія може так само добре виражатися співвідношенням $y = x + a$

f_{X} (y) = f_{X} (2 a - y)

$f_X(y) = f_X(2a-y)$

для всіх . Для будь-якої вимірюваної функції зміна однозначної змінної від на змінює на , змінюючи при цьому напрямок інтеграції, маючи на увазі $y$ $G$ $x$ $2a-x$ $dx$ $-dx$

E_{X} (G (X)) = \int G (x) f_{X} (x) d x = \int G (x) f_{X} (2 a - x) d x = \int G (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$

Якщо припустити, що це очікування існує (тобто інтеграл сходить), то лінійність інтеграла має на увазі

\int (G (x) - G (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 0.

$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$

Розглянемо непарні моменти про , які визначаються як очікування , . У цих випадках $a$ $G_{k,a}(X) = (X-a)^k$ $k = 1, 3, 5, \ldots$

\begin{aligned} G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x) & = (x - a)^{k} - (2 a - x - a)^{k} \\ = (x - a)^{k} - (a - x)^{k} \\ = (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k} \\ = 2 (x - a)^{k}, \end{aligned}

$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$

саме тому, що непарне. Застосування попереднього результату дає $k$

0 = \int (G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 2 \int (x - a)^{k} f_{X} (x) d x .

$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$

Оскільки права рука вдвічі перевищує й момент приблизно , ділення на показує, що цей момент дорівнює нулю, коли він існує. $k$ $a$ $2$

Нарешті, середнє значення (припустимо, що воно існує) є

μ_{X} = E_{X} (X) = \int x f_{X} (x) d x = \int (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$

Ще раз використовуючи лінійність і нагадуючи, що оскільки є розподілом ймовірностей, ми можемо переставити останню рівність для читання $\int f_X(x)dx=1$ $f_X$

2 μ_{X} = 2 \int x f_{X} (x) d x = 2 a \int f_{X} (x) d x = 2 a \times 1 = 2 a

$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$

з унікальним рішенням . Тому всі наші попередні підрахунки моментів про це справді центральні моменти, QED. $\mu_X = a$ $a$

Послідове слово

Необхідність розділити на на кілька місць пов'язана з тим, що існує група порядку діє на вимірювані функції (а саме група, породжена відображенням у рядку навколо ). Більш загально, уявлення про симетрію можна узагальнити до дії будь-якої групи. Теорія групових уявлень передбачає, що коли персонаж $2$ $2$ $a$ ця дія на функцію не є тривіальною, вона ортогональна тривіальному символу, а це означає, що очікування функції має бути нульовим. Ортогональні відносини передбачають додавання (або інтегрування) над групою, звідки розмір групи постійно з’являється в знаменниках: її кардинальність, коли вона кінцева, або її обсяг, коли вона компактна.

Краса цього узагальнення стає очевидною при застосуванні з явною симетрією , наприклад, в механічних (або квантово-механічних) рівняннях руху симетричних систем, наведених у прикладі молекули бензолу (яка має 12 елементну групу симетрії). (Додаток QM є найбільш актуальним тут, оскільки він чітко розраховує очікування.) Значення фізичного інтересу - які, як правило, включають багатовимірні інтеграли тензорів - можна обчислити не більше роботи, ніж було залучено тут, просто знаючи символи, пов'язані з інтегрує. Наприклад, "кольори" різних симетричних молекул - їх спектри при різних довжинах хвиль - можна визначити ab initio за допомогою цього підходу.

— дзижчати
джерело

(+1) В розділі початок «Розглянемо непарні моменти про ...», я вважаю , що третій рядок повинна говорити .

a

$a$

= (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k}

$=(1^k-(-1)^k)(x-a)^k$

— припускаєтьсянормальне

@Max Yep: Дякую, що ви уважно прочитали! (Зараз це виправлено.)

— whuber