Лінійна модель з перетвореною на логарифмічну реакцію проти узагальненої лінійної моделі з логічним зв'язком

У цій статті під назвою "ВИБОРИ УЗАГАЛЬНЕНИХ ЛІНІЙНИХ МОДЕЛІВ, ЗАСТОСОВАНИХ ДО МЕДИЧНИХ ДАНИХ", автори пишуть:

У узагальненій лінійній моделі середнє перетворюється функцією зв’язку замість самої реакції. Два способи трансформації можуть призвести до зовсім різних результатів; наприклад, середнє значення log-трансформованих відповідей не те саме, що логарифм середньої відповіді . Взагалі, колишнього неможливо легко перетворити на середню відповідь. Таким чином, перетворення середини часто дозволяє простіше інтерпретувати результати, тим більше, що середні параметри залишаються на тій же шкалі, що і вимірювані відповіді.

Здається, вони радять підходити до узагальненої лінійної моделі (GLM) з посиланням на журнал замість лінійної моделі (LM) з перетвореною характеристикою журналу. Я не розумію переваг такого підходу, і мені це здається досить незвичним.

Моя змінна відповідь виглядає як правило, розподілена журналом. Я отримую подібні результати щодо коефіцієнтів та їх стандартних помилок при будь-якому підході.

І все-таки мені цікаво: Якщо змінна має нормальний розподіл журналу, чи не середнє значення змінної, що перетворюється на журнал, є кращим перед журналом середньої неперетвореної змінної , оскільки середнє значення є природним підсумком нормального розподілу та журналом -трансформована змінна зазвичай розподіляється, тоді як сама змінна ні?

Хоча може здатися, що середнє значення змінних, що перетворюються на журнал, є кращим (оскільки, як правило, параметризується нормальний журнал), з практичної точки зору журнал середнього значення, як правило, набагато корисніший.

Це особливо актуально, коли ваша модель не зовсім коректна, і, щоб процитувати Джорджа Бокса: "Усі моделі неправильні, деякі корисні"

Припустимо, якась кількість звичайно розподіляється, артеріальний тиск скаже (я не медик!), І у нас є дві групи, чоловіки та жінки. Можна припустити, що середній артеріальний тиск у жінок вище, ніж у чоловіків. Це точно відповідає питанню, чи вище середній показник артеріального тиску у жінок, ніж у чоловіків. Це не те саме, що запитувати, чи є середній показник артеріального тиску в лог вище у жінок, ніж у чоловіка .

$\mu_{\ln}$

$\mu = e^{\mu_{\ln} + \sigma_{\ln}^2/2}$

$\sigma^2 = (e^{\sigma^2_{\ln}} -1)e^{2 \mu_{\ln} + \sigma_{\ln}^2}$

Очевидно, що це робить алгебру жахливо складною, але вона все одно працює і означає те саме.

$\ln(\mu)$$\sigma^2_{\ln}$$\mu_{\ln}$

$\mu_{\ln}$

Поки ми припускали, що артеріальний тиск суттєво не є нормальним. Якщо справжні дистрибутиви не зовсім нормальні для журналу, то перетворення даних (як правило) може зробити ще гірше, ніж вище - оскільки ми не будемо точно знати, що насправді означає наш "середній" параметр. Тобто ми не будемо знати, що ці два рівняння для середньої і дисперсії, які я подав вище, є правильними. Якщо використовувати їх для перетворення вперед і назад, то введе додаткові помилки.

Ось два мої центи з передового курсу аналізу даних, який я взяв під час вивчення біостатистики (хоча я не маю жодних посилань, крім записок мого професора):

Це зводиться до того, чи потрібно вирішувати лінійність та гетероседастичність (неоднакові дисперсії) у ваших даних чи просто лінійність.

Вона зазначає, що трансформація даних впливає як на припущення щодо лінійності, так і дисперсії моделі. Наприклад, якщо у ваших залишків виникають проблеми з обома, ви можете розглянути можливість перетворення даних, що потенційно може виправити обидва. Перетворення трансформує помилки і, отже, їх дисперсію.

Навпаки, використання функції зв’язку впливає лише на припущення про лінійність, а не на дисперсію. Журнал приймається середнім (очікуваним значенням), і, таким чином, дисперсія залишків не впливає.

Підсумовуючи це, якщо у вас немає проблеми з непостійною дисперсією, вона пропонує використовувати функцію посилання для перетворення, оскільки ви не хочете змінювати свою дисперсію в цьому випадку (ви вже зустрічаєтесь з припущенням).

Якщо відповідь справжня не симетрична (не розподіляється як нормальна), але реакція на перетворений журнал є нормальною, тоді застосовується лінійна регресія на трансформовану відповідь, а коефіцієнт показника дає нам співвідношення середнього геометричного.

Якщо відповідь справжня симетрична (розподілена як нормальна), але відношення між пояснювальною (X) та відповіддю не є лінійною, але очікуване значення журналу є лінійною функцією X, тоді використовується GLM з логічним посиланням, а коефіцієнт показника дає нам відношення середнього арифметичного