Щільність роботів, що роблять випадкову ходу, в нескінченному випадковому геометричному графіку

Розглянемо нескінченний випадковий геометричний графік, у якому місця розташування вузлів слідують за процесом точки Пуассона з щільністю а ребра розміщуються між вузлами, ближчими . Тому довжина країв дотримується наступного PDF: $\rho$ $d$

f (l) = {\begin{cases} \frac{2 l}{d^{2}} l \leq d \\ 0 l > d \end{cases}

$f(l)= \begin{cases} \frac{2 l}{d^2} \;\quad l \le d \\ 0 \qquad\; l > d \end{cases}$

На наведеному вище графіку розглянемо вузли всередині кола радіуса зосереджені біля початку. Припустимо, що в момент ми розміщуємо крихітного робота всередині кожного згаданих вузлів. Тобто щільність роботів у площині задається: $r$ $t=0$

g (l) = {\begin{cases} ρ l \leq r \\ 0 l > d \end{cases}

$g(l)= \begin{cases} \rho \quad l \le r \\ 0 \quad\; l > d \end{cases}$ де - відстань від початку. На наступному малюнку показаний приклад початкового розміщення роботів.

l

$l$

приклад

На кожному кроці роботи, робочі йдуть до одного з сусідів випадковим чином.

Тепер моє запитання таке: яка функція щільності роботи при ? Чи можливо, щоб обчислити функцію щільності при ? $t>0$ $t \rightarrow \infty$

Вибачте, хлопці, я аж ніяк не математик. Будь ласка, повідомте мене, якщо щось незрозуміле.

— Гелій
джерело

Шукайте книги Вольфганга Воеса як редактора чи автора. Нещодавня колекція: Випадкові прогулянки, межі та спектри. Birkhauser, 2011. З 2000 р. (Cambridge Univ.Press): Випадкові прогулянки нескінченними графами та групами.

— Мисливець на олень

Дякую, Мисливець. Я швидко ознайомився з його книгою 2011 року, але не зміг знайти нічого пов'язаного. Зараз я не маю доступу до 2000-го, але перегляну його, як тільки знайду його. Будь ласка, дайте мені знати, якщо ви пам'ятаєте щось більш конкретне з книг.

— Гелій

Ось початок.

Нехай - радіус кулі, яку ви розглядаєте. $r = d/2$

Спочатку читайте про випадкові прогулянки: http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk . Припустимо, у вас є лише один робот, і припустимо, що ваша випадкова хода ведеться по двовимірній решітці. Для малих це легко обчислити за допомогою матричного множення. Ви знаєте, що в решітці є лише можливих точок, на які ви можете наступити або приземлитися після кроків. Нехай буде матриця суміжності цих вершин. Нехай - вектор усіх с, крім у му місці. Припустимо, що перший рядок (і стовпець) з $t$ $n = 1 + 4t + 2t(t-1)$ $t$ $A_t$ $n \times n$ $n$ $e_{i,t} \in \{0,1\}^n$ $0$ $1$ $i$ $A_t$ відповідає походження. Тоді ймовірність того, що ти знаходишся у вершині після кроків, є (де прості засоби означають перенесення, і - піднятий до ї сили). Я впевнений, що ви повинні мати можливість це вирішити чітко. Можна використовувати той факт, що все однакове відстань від початку в нормі має мати однакову щільність. $i$ $t$ $e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$ $A^t = A \times A \cdots \times A$ $A$ $t$ $\cal L_1$

Після цієї розминки переходимо до вашого оригінального питання. Після кроків вам потрібно розглянути лише кінцевий графік, який знаходиться в межах радіуса кулі навколо початку (скрізь ще є ймовірність бути доступною лише після $t$ $r(t+1)$ $0$ $t$ кроки). Спробуйте скласти матрицю суміжності цього графіка та працюйте з ним так само, як і у випадку з решіткою - я не знаю, як це зробити, але я б припустив, що там є якась теорія Маркова, яка допоможе вам вирішити. Ви можете скористатися нами тим, що ви знаєте, що цей розподіл повинен бути симетричним навколо початку, зокрема щільність є лише функцією відстані від початку. Це повинно полегшити ситуацію, тому все, що вам потрібно врахувати, - це ймовірність того, що ви віддаляєтеся від початку після кроків. Після вирішення цієї проблеми викличте свою щільність у місці після кроків . Зауважте, що буде функцією $q$ $t$ $(x,y)$ $t$ $f_t(x,y)$ $f_t$ $r$ . Нехай - випадкова величина, відібрана з цього розподілу. $X$

Тепер вам також потрібно розглянути можливість початку роботи з кількома роботами. Якщо припустити, що декілька роботів можуть бути в одній вершині, це не робить це набагато складніше, ніж один випадок роботи. Роботи можуть почати рівномірно по колу, називають випадкову величину, яка семпл рівномірно на цій окружності . Буде число Пуассона з роботів, з яких ви починаєте, нехай буде випадковою змінною, відібраною з цього розподілу Пуассона. Таким чином, щільність ви отримуєте від декількох роботів тільки . $U$ $M$ $MU + X$

Я думаю , що це розумне початок до вирішення , за винятком , що я не в повній мірі визначити розподіл . Удачі та акуратного питання. $X$

— користувач1448319
джерело

Чи можете ви пояснити, як ви отримали загальну кількість можливих місць, зайнятих після кроків на звичайній решітці? Наприклад, підключення , і не дає розумних відповідей. Якщо ваша відповідь не повинна бути ?

t

$t$

t = 0

$t = 0$

t = 1

$t = 1$

t = 2

$t = 2$

t^{2}

$t^2$

— кардинал

о, гарний улов. це не повинно бути , це повинно бути . - початок, - осі, - 4 трикутні масиви. наприклад, для , та та інших 3 напрямках, та та інших чотирьох квадрантів.

n = 1 + 4 t + 2 (t - 1)^{2}

$n = 1 + 4t + 2(t-1)^2$

n = 1 + 4 t + 2 t (t - 1) = 1 + 2 t + 2 t^{2}

$n= 1 + 4t + 2t(t-1) = 1 + 2t + 2t^2$

1

$1$

+ 4 t

$+4t$

+ 2 t (t - 1)

$+2t(t-1)$

t = 2

$t=2$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0), (2, 0)

$(1,0), (2, 0)$

(1, 1)

$(1,1)$

— користувач1448319

Як ти будеш після двох кроків? (Можливо, я не розумію прогулянку, яку ви описуєте. Якщо я думаю про "звичайну" випадкову прогулянку по , тобто рівномірну в чотирьох кардинальних напрямках, то, якщо я не помиляюся, відповідь у моєму першому коментарі має бути правильним.)

(1, 0)

$(1,0)$

Z^{2}

$\mathbb Z^2$

— кардинал

Ви не можете закінчити після двох кроків, починаючи з . Але МОЖЕТЕ пройти через зробивши два кроки. Ви ОБОВ'ЯЗКОВЕ врахувати всі точки, до яких можна протягом 2 кроків, щоб побудувати як описано вище.

(1, 0)

$(1,0)$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0)

$(1,0)$

A_{t}

$A_t$

— користувач1448319

Це правда, але я взяв таке речення, щоб сказати, що воно сказало: Ви знаєте, що тільки можливих місць, де ви можете приземлитися на ґрати після кроків. $n=1+4t+2(t−1)^2$ $t$ :-) Можливо, редагування допоможе уточнити. Ура.

— кардинал