Як оцінити процес Пуассона за допомогою R? (Або: як використовувати пакет NHPoisson?)

У мене є база даних про події (тобто змінна дата) та пов'язані з ними коріаріати.

Події породжуються нестаціонарним процесом Пуассона, параметр якого є невідомою (але можливо лінійною) функцією деяких коваріатів.

Я думаю, що пакет NHPoisson існує саме для цієї мети; але після 15 годин невдалого дослідження я ще ніде не знаю, як ним користуватися.

Чорт забираю, я навіть спробував прочитати обидва посилання на книги: Coles, S. (2001). Вступ до статистичного моделювання екстремальних значень. Спрингер. Casella, G. and Berger, RL, (2002). Статистичний висновок. Брукс / Коул.

Один єдиний приклад в документації на fitPP.fun, схоже, не відповідає моїй настройці; У мене немає екстремальних значень! У мене просто голі події.

Чи можете мені хто-небудь допомогти простим прикладом встановлення процесу Пуассона з параметром з одним коваріатом X та припущенням, що λ = λ 0 + $\lambda$$X$ ? Мене цікавить оцінка λ 0 і α . Я надаю набір даних із двох стовпців із часом подій (скажімо, вимірюється в секундах через деякий довільний час t 0 ) та інший стовпець зі значеннями коваріату X ?$\lambda = \lambda_0 + \alpha \cdot X$$\lambda_0$$\alpha$$t_0$$X$

Встановлення стаціонарного процесу Пуассона

Перш за все важливо усвідомити, який тип вхідних даних потрібен NHPoisson.

Найперше, NHPoisson потребує переліку показників моментів події. Якщо ми записуємо проміжок часу та кількість подій у часовий інтервал, то я повинен перевести це в єдиний стовпчик дат, можливо, "змазуючи" дати через інтервал, на який вони записуються.

$\lambda$

$\lambda=1$

lambda=1/60 #1 event per minute
time.span=60*60*24 #24 hours, with time granularity one second

aux<-simNHP.fun(rep(lambda,time.span))

simNHP.funРобить моделювання. Ми використовуємо для отримання aux$posNHзмінну з показниками моментів імітації стрільби подій. Ми бачимо, що приблизно у нас є 60 * 24 = 1440 подій, перевіривши `length (aux $ posNH).

$\lambda$fitPP.fun

out<-fitPP.fun(posE=aux$posNH,n=time.span,start=list(b0=0)) # b0=0 is our guess at initial value for optimization, which is internally made with `nlminb` function

Оскільки функція приймає лише індекси подій, вона також потребує вимірювання кількості можливих індексів. І це дуже заплутана частина , тому що в процесі справжнього Пуассона можна мати нескінченну кількість можливих подій (якщо тільки$\lambda>0$fitPP

Тож, що ми робимо насправді, це те, що ми наближаємо процес Пуассона гранульованою послідовністю біноміальних подій, кожна подія охоплює рівно одну одиницю часу, аналогічно механізму, в якому розподіл Пуассона в законі може розглядатися як межа біноміального розподілу рідкісних подій .

Як тільки ми це зрозуміємо, решта набагато простіше (принаймні, для мене).

$\lambda$betaexp(coef(out)[1])NHPoisson$\lambda$$\lambda$

Встановлення нестаціонарного процесу Пуассона

NHPoisson відповідає такій моделі:

$\lambda = \exp(\vec{P}^T \cdot \vec{\beta} )$

$\vec{P}$$\lambda$

Тепер давайте підготуємо нестаціонарний процес Пуассона.

time.span=60*60*24 #24 hours, with time granularity one second
all.seconds<-seq(1,time.span,length.out=time.span)
lambdas=0.05*exp(-0.0001*all.seconds) #we can't model a linear regression with NHPoisson. It must have the form with exp.
aux<-simNHP.fun(lambdas)

Як і раніше, aux$posNHце дало б нам індекси подій, але цього разу ми помітимо, що інтенсивність подій з часом зменшується експоненціально. І швидкість цього зменшення - це параметр, який ми хочемо оцінити.

out<-fitPP.fun(tind=TRUE,covariates=cbind(all.seconds),
        posE=aux$posNH,
        start=list(b0=0,b1=0),modSim=TRUE)

Важливо зазначити, що нас потрібно ставити all.secondsяк коваріат, а не lambdas. Експоненціація / логаритмізація здійснюється внутрішньо fitPP.fun. BTW, окрім передбачених значень, функція складає два графіки за замовчуванням.

Останній фрагмент - функція швейцарського ножа для перевірки моделі, globalval.fun .

aux<-globalval.fun(obFPP=out,lint=2000,
        covariates=cbind(all.seconds),typeI='Disjoint',
        typeRes='Raw',typeResLV='Raw',resqqplot=FALSE)

Крім усього іншого, функція ділить час на інтервали, кожен lintвибірки довгий, тому можна створити неочищені графіки, які порівнюють прогнозовану інтенсивність із спостережуваною інтенсивністю.