Центральна гранична теорема та закон великих чисел

У мене є питання початківця щодо теореми про центральну межу (CLT):

Мені відомо, що CLT стверджує, що середнє значення iid випадкових змінних є приблизно нормально розподіленим (для $n \to \infty$ , де - індекс підсумкових значень) або стандартизована випадкова величина матиме стандартний нормальний розподіл. $n$

Тепер Закон великої кількості говорить грубо кажучи, що середнє значення iid випадкових величин збігається (вірогідно чи майже напевно) до їх очікуваного значення.

Що я не розумію: якщо, як зазначає CLT, середнє значення приблизно нормально розподіляється, то як воно може одночасно збігатися до очікуваного значення?

Конвергенція означає для мене, що з часом ймовірність того, що середнє значення приймає значення, яке не є очікуваним, майже дорівнює нулю, отже, розподіл насправді не буде нормальним, а майже нульовим скрізь, окрім очікуваного значення.

Будь-яке пояснення вітається.

— Пега
джерело

Ключ до відповіді полягає в тому, де у вашому запитанні з’являється слово "стандартизовано".

— whuber

Вибачте, але я не впевнений, що розумію.

— Пега

Підказка: одна теорема - приблизно

який має дисперсію

, інший про

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_i X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

що має дисперсію

\frac{1}{n} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{n}\sum_i X_i$

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

— Діліп Сарват

Центральна гранична теорема стосується подорожі, а Сильний закон великих чисел - про місце призначення.

— кардинал

На цьому малюнку показано розподіл засобів (синій), (червоний) та (золото) незалежних та однаково розподілених ( iid ) нормальних розподілів (одиниці дисперсії та середнього ): $n=1$ $10$ $100$ $\mu$

Три PDF-файли, що перекриваються

$n$ $\mu$ $(a,b)$ $\mu$ $[a,b]$ $n$ $1$

$0$ $\mu$

$n$ $n$

— дзижчати
джерело

@whuber досить хороша відповідь, я буду вдячний за пояснення того, що ми розуміємо під слабким законом великої кількості.

— Subhash C. Davar

@subhash Дивіться en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers#Weak_law .

— whuber