Як ви обчислюєте очікування ?

Якщо розподілено експоненціально з параметром і взаємно незалежні, яке очікування $X_i$ $(i=1,...,n)$ $\lambda$ $X_i$

{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

з точки зору та та, можливо, інших констант? $n$ $\lambda$

Примітка. Це питання отримало математичну відповідь на /math//q/12068/4051 . Читачі теж поглянули б на це.

expected-value exponential gamma-distribution

— Ісаак
джерело

У двох примірниках цього питання посилаються один на одного, і, відповідно, сайт статистики (тут) має статистичну відповідь, а математичний сайт має математичну відповідь. Здається, хороший поділ: нехай стоїть!

— whuber

Відповіді:

Якщо , то (при незалежності) , значить розподілена гама (див. Вікіпедія ). Отже, нам просто потрібен . Оскільки , ми знаємо, що . Тому (див. Вікіпедію для очікування та дисперсії гамма-розподілу). $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

— Вольфганг
джерело

Дякую. Дуже акуратний спосіб відповіді на питання (що веде до тієї ж відповіді) був також наданий на math.stackexchange (посилання вище у запитанні) кілька хвилин тому.

— Вольфганг

Математична відповідь обчислює інтеграли, використовуючи лінійність очікування. У чомусь це простіше. Але мені подобається ваше рішення, оскільки воно використовує статистичні знання: оскільки ви знаєте, що сума незалежних Експоненціальних змінних має розподіл Гамма, ви закінчили.

— whuber

Мені це сподобалося зовсім небагато, і я аж ніяк не статистик чи математик.

— Кортук

дуже елегантна відповідь.

— Сайрус

@Dilip Математик схильний сприймати це питання як запит інтеграла і переходить безпосередньо до його інтеграції. Статистик повторно висловлює це з приводу знайомих статистичних величин, таких як дисперсія та знайомих статистичних зв'язків, наприклад, що Експонента є Гамма, а сімейство Гамма закрите під згортанням. Відповіді однакові, але підходи абсолютно різні. Тоді виникає питання про те, що насправді означає "інтеграція". Наприклад, цей складний інтеграл робиться чисто алгебраїчно.

— whuber

Наведена вище відповідь дуже приємна і повністю відповідає на питання, але я натомість надам загальну формулу очікуваного квадрата суми і застосую її до конкретного прикладу, згаданого тут.

Для будь-якого набору констант це факт $a_1, ..., a_n$

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

це відповідає властивості дистрибутива і стає зрозумілим, коли ви враховуєте, що ви робите, коли ви обчислюєте вручну. $(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$

Тому для вибірки випадкових змінних , незалежно від розподілів, $X_1, ..., X_n$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

за умови, що ці очікування існують.

У прикладі задачі є iid випадковими змінними, що говорить нам, що і для кожного . За незалежністю для ми маємо $X_1, ..., X_n$ ${\rm exponential}(\lambda)$ $E(X_{i}) = 1/\lambda$ ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ $i$ $i \neq j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

У сумі є цих доданків. Коли , маємо $n^2 - n$ $i = j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}^{2}) = v a r (X_{i}) + E (X_{i})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

і є цього терміна в сумі. Тому, використовуючи формулу вище, $n$

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

це ваша відповідь.

— Макрос
джерело

Ця проблема є лише окремим випадком набагато більш загальної проблеми "моментів моментів", які, як правило, визначаються через позначення суми потужності. Зокрема, у позначенні суми потужності:

s_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

Тоді, незалежно від розподілу , оригінальний плакат шукає (за умови існування моментів). Оскільки оператором очікувань є лише перший сирий момент, рішення надається в програмному забезпеченні mathStatica: $E[s_1^2]$

["___ToRaw" означає, що ми хочемо, щоб рішення було представлене у суворих моментах населення (а не сказати про центральні моменти чи сукупності). ]

Нарешті, якщо ~ Експоненціальна ( ) з pdf : $X$ $\lambda$ $f(x)$

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

тоді ми можемо замінити моменти в загальному рішенні фактичними значеннями для Експоненціальної випадкової величини, наприклад так: $\mu_i$ sol

Все зроблено.

PS Причина, що інші рішення, розміщені тут, дає відповідь з у знаменнику, а не чисельником, це, звичайно, тому, що вони використовують іншу параметризацію Експоненціального розподілу. Оскільки в ОП не було вказано, яку версію він використовує, я вирішив використати стандартне визначення підручника з теорії розподілу Джонсона Коца та ін.… Просто для збалансування речей :) $\lambda^2$

— вовки
джерело