Чи можлива взаємодія між двома безперервними змінними?

Усі мої змінні безперервні. Рівень немає. Можна навіть мати взаємодія між змінними?

Так, чому ні? У цьому випадку буде застосовано те саме, що і для категоричних змінних: Ефект на результат Y неоднаковий залежно від значення X 2 . Щоб полегшити візуалізацію, ви можете придумати значення, прийняті X 1, коли X 2 приймає великі або низькі значення. На відміну від категоричних змінних, тут взаємодія якраз представлена ​​добутками X 1 і X 2 . Зверніть увагу, краще спершу сфокусувати свої дві змінні (щоб коефіцієнт для, скажімо, X 1 читав як ефект X 1, коли $X_1$$Y$$X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_1$ - середнє значення для його вибірки).$X_2$

Як ласкаво запропонував @whuber, простий спосіб зрозуміти, як змінюється на Y як функцію X 2 при включенні терміна взаємодії, - це записати модель E ( Y | X ) = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 1 X 2 .$X_1$$Y$$X_2$$\mathbb{E}(Y|X)=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_1X_2$

Тоді видно, що ефект збільшення на 1 одиницю коли X 2 підтримується постійним, може бути виражений як:$X_1$$X_2$

Аналогічно, ефект, коли збільшується на одну одиницю, утримуючи константу X 1, є β 2 + β 3 X 1 . Це демонструє, чому важко інтерпретувати ефекти X 1 ( β 1 ) та X 2 ( β 2 ) ізольовано. Це буде ще складніше, якщо обидва прогнозисти сильно співвідносяться. Важливо також пам’ятати про припущення про лінійність, яке робиться в такій лінійній моделі.$X_2$$X_1$$\beta_2+\beta_3X_1$$X_1$$\beta_1$$X_2$$\beta_2$

Ви можете ознайомитись з декількома регресіями: тестування та інтерпретація взаємодій Леона С. Ейкен, Стівен Г. Вест та Реймонд Р. Рено (Sage Publications, 1996) для огляду різного роду ефектів взаємодії при множинній регресії. . (Це, мабуть, не найкраща книга, але вона доступна через Google)

Ось приклад іграшки в R:

library(mvtnorm)
set.seed(101)
n <- 300                      # sample size
S <- matrix(c(1,.2,.8,0,.2,1,.6,0,.8,.6,1,-.2,0,0,-.2,1), 
            nr=4, byrow=TRUE) # cor matrix
X <- as.data.frame(rmvnorm(n, mean=rep(0, 4), sigma=S))
colnames(X) <- c("x1","x2","y","x1x2")
summary(lm(y~x1+x2+x1x2, data=X))
pairs(X)

де результат насправді читає:

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.01050    0.01860  -0.565    0.573    
x1           0.71498    0.01999  35.758   <2e-16 ***
x2           0.43706    0.01969  22.201   <2e-16 ***
x1x2        -0.17626    0.01801  -9.789   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.3206 on 296 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8828, Adjusted R-squared: 0.8816 
F-statistic: 743.2 on 3 and 296 DF,  p-value: < 2.2e-16 

А ось як виглядають змодельовані дані:

Щоб проілюструвати другий коментар @ whuber, ви завжди можете розглядати варіації як функцію X 2 при різних значеннях X 1 (наприклад, терцили або децили); малюнки шпалер корисні в цьому випадку. Із наведеними вище даними ми будемо діяти так:$Y$$X_2$$X_1$

library(Hmisc)
X$x1b <- cut2(X$x1, g=5) # consider 5 quantiles (60 obs. per group)
coplot(y~x2|x1b, data=X, panel = panel.smooth)