Чому оцінювач повинен бути незалежним від параметра?

введіть тут опис зображення

Це уривок із «Сучасної математичної статистики з додатками» Devore et al. Мене спантеличує те, що оцінювач не може не залежати від , оскільки вибірка залежить від параметра. $\theta$

estimation

— qed
джерело

Ви маєте рацію, що будь-який розумний оцінювач буде функцією (незмінною) даних (за винятком якихось спеціальних, імовірно патологічних, випадків, таких як мій приклад тут ). Отже, правильно сказати, що розумний оцінювач залежить від через його залежність від даних. Але я майже впевнений, що все має на увазі речення $\theta$

Покажіть, що дійсно є оцінкою - що це функція , яка не залежить від $U^{\star}$ $X_i$ $\theta$

полягає в тому, що формула для оцінювача не може містити параметр. Це для виключення таких речей, як , що було б ідеальним оцінювачем (навіть якби у вас не було даних !!), але вам потрібно бути психічним, щоб обчислити це :-) $\hat{\theta} = \theta$

Як зазначається в укладеному вами фрагменті, оскільки є достатньою статистикою, розподіл будь-якої статистики, наприклад , умовної від , не залежатиме від . Отже, не може залежати від , гарантуючи, що воно буде мати властивість, про яку йдеться. $T$ $U$ $T$ $\theta$ $U^{\star} = E(U|T)$ $\theta$

— Макрос
джерело

+1 Це запитання розкриває цікаву неоднозначність у мові цього (добре сприйнятого, популярного) підручника: "залежно від " може означати щонайменше три різних речі! (1) явно не відображається у формулі. (2) Хоча може відображатися у формулі, формула інваріантна при змінах до . (3) розглядається як (можливо, постійна) випадкова величина і "залежність" може бути призначена у розумінні залежності випадкових величин. На жаль, спроба уточнення ("розповсюдження ... не передбачає ") є надто розпливчастим, щоб сильно допомогти.

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— качан

Привіт @whuber - я не зовсім впевнений, що ти маєш на увазі (2). Я намагаюся придумати оцінювач, який має цю властивість. Ви маєте на увазі, що спосіб обчислення оцінювача був би однаковим незалежно від ? Це, здається, еквівалентно не з'являється у формулі. В іншому випадку вам знову потрібно бути екстрасенсом, щоб обчислити оцінювач, правда? Якщо ви мали на увазі інваріант у тому сенсі, що числове значення оцінювача залишається однаковим незалежно від значення то це не здається дуже хорошим оцінником :-) Чи можете ви уточнити?

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— Макрос

Це тонка різниця, але це реально. Як тривіальний приклад, після дотримання успіхів у iid Біноміальних випробуваннях з параметром , очевидно з'являється в (допустимому) оцінці " , "але він, тим не менш, є дійсним, оскільки не змінюється в . Більш тонко (і все ще тривіально) в iid Нормальна проблема вибірки, оцінювач не тільки залучає але насправді змінюється з нею - все ж шанс, що вона не є постійною, дорівнює нулю, а такий же хороший, як вони приходять.

k

$k$

n

$n$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + \log (\exp (θ)^{2}) / θ)

$(k+1)/(n+\log(\exp(\theta)^2)/\theta)$

θ

$\theta$

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

θ

$\theta$

\hat{μ}

$\hat{\mu}$

— whuber

Я думаю, я все ще пропускаю вашу думку. У першому оцінці , тому насправді скасовується з виразу, і, здається, краще просто записати його як . Я думаю, що я дійсно пропускаю вашу точку з другою. Я там не бачу і здається, що оскільки ймовірність бути цілим числом дорівнює нулю. Отже, з ймовірністю , яка не передбачає . Я, мабуть, щільна. Якщо коментар задовгий, можливо, ми можемо це зробити у чаті колись.

\log (\exp (θ)^{2}) = 2 θ

$\log( \exp(\theta)^2 ) = 2 \theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + 2)

$(k+1)/(n+2)$

μ

$\mu$

P (\bar{x} \in Q) = 0

$P( \overline{x} \in \mathbb{Q}) = 0$

\bar{x}

$\overline{x}$

\hat{μ} = \bar{x}

$\hat{\mu} = \overline{x}$

1

$1$

θ

$\theta$

— Макрос

Вибачте за помилку: другий оцінювач повинен був бути . Відмінність у першому випадку полягає між формулою та її значеннями. (BTW, ваше рівняння з не є повністю правильним, оскільки воно не відповідає , де моя формула не визначена.)

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 μ I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mu\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

\log (\exp (θ)^{2}) / θ

$\log(\exp(\theta)^2)/\theta$

2

$2$

θ = 0

$\theta=0$

— whuber