Що таке гіпотеза NULL щодо взаємодії у двосторонній АНОВА?

Скажімо, у нас є два фактори (A і B), кожен з яких має два рівні (A1, A2 і B1, B2) і змінну відповіді (y).

При виконанні двостороннього типу ANOVA:

y~A+B+A*B

Ми перевіряємо три нульові гіпотези:

1. Різниця серед засобів фактора А немає
2. Немає різниці в засобах фактору В
3. Немає взаємодії між факторами A і B

Коли їх записують, перші дві гіпотези легко сформулювати (для 1 це )$H_0:\; \mu_{A1}=\mu_{A2}$

Але як слід формулювати гіпотезу 3?

редагувати : а як би це було сформульовано для випадку більш ніж двох рівнів?

Спасибі.

Я думаю, що важливо чітко відокремити гіпотезу та її відповідний тест. Для наступного я припускаю збалансований дизайн між CRF- між суб'єктами (рівні розміри комірок, позначення Кірка: Повністю рандомізований факторний дизайн).$pq$

$Y_{ijk}$ - це спостереження при лікуванні фактора та обробці фактора з , та . Модель$i$A k B 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ p 1 ≤ k ≤ q Y i j k = μ j k + ϵ i ( j k )$j$$A$$k$$B$$1 \leq i \leq n$$1 \leq j \leq p$$1 \leq k \leq q$$Y_{ijk} = \mu_{jk} + \epsilon_{i(jk)}, \quad \epsilon_{i(jk)} \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$

Дизайн: $\begin{array}{r|ccccc|l} ~ & B 1 & \ldots & B k & \ldots & B q & ~\\\hline A 1 & \mu_{11} & \ldots & \mu_{1k} & \ldots & \mu_{1q} & \mu_{1.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A j & \mu_{j1} & \ldots & \mu_{jk} & \ldots & \mu_{jq} & \mu_{j.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A p & \mu_{p1} & \ldots & \mu_{pk} & \ldots & \mu_{pq} & \mu_{p.}\\\hline ~ & \mu_{.1} & \ldots & \mu_{.k} & \ldots & \mu_{.q} & \mu \end{array}$

j k ϵ i ( j k ) i ( ) j k $\mu_{jk}$ є очікуване значення в осередку , є помилка , пов'язана з вимірюванням людини в цьому осередку. Позначення вказує на те, що індекси фіксовані для будь-якого даного людини , тому що людина , спостерігається тільки в одному стані. Кілька визначень ефектів:$jk$$\epsilon_{i(jk)}$$i$$()$$jk$$i$

j$\mu_{j.} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \mu_{jk}$ (середнє очікуване значення для лікування фактора )$j$$A$

k$\mu_{.k} = \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \mu_{jk}$ (середнє очікуване значення для лікування фактора )$k$$B$

$\alpha_{j} = \mu_{j.} - \mu$ (ефект лікування фактора , )$j$$A$$\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} = 0$

$\beta_{k} = \mu_{.k} - \mu$ (ефект лікування фактора , )$k$$B$$\sum_{k=1}^{q} \beta_{k} = 0$

$(\alpha \beta)_{jk} = \mu_{jk} - (\mu + \alpha_{j} + \beta_{k}) = \mu_{jk} - \mu_{j.} - \mu_{.k} + \mu$
(ефект взаємодії комбінації лікування фактора з лікуванням фактора ,$j$$A$$k$$B$$\sum_{j=1}^{p} (\alpha \beta)_{jk} = 0 \, \wedge \, \sum_{k=1}^{q} (\alpha \beta)_{jk} = 0)$

$\alpha_{j}^{(k)} = \mu_{jk} - \mu_{.k}$
(умовний головний ефект для лікування фактора у межах фіксованого лікування фактора ,$j$$A$$k$$B$$\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j}^{(k)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \alpha_{j}^{(k)} = \alpha_{j} \quad \forall \, j, k)$

$\beta_{k}^{(j)} = \mu_{jk} - \mu_{j.}$
(умовний основний ефект для лікування фактора у межах фіксованого лікування фактора ,$k$$B$$j$$A$$\sum_{k=1}^{q} \beta_{k}^{(j)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{k}^{(j)} = \beta_{k} \quad \forall \, j, k)$

За допомогою цих визначень модель також може бути записана так: $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha \beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)}$

Це дозволяє висловити нульову гіпотезу про відсутність взаємодії кількома рівнозначними способами:

1. $H_{0_{I}}: \sum_{j}\sum_{k} (\alpha \beta)^{2}_{jk} = 0$
   (усі індивідуальні умови взаємодії , такі що . Це означає, що ефекти лікування обох факторів - як визначено вище - скрізь додають.)$0$$\mu_{jk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} \, \forall j, k$

2. $H_{0_{I}}: \alpha_{j}^{(k)} - \alpha_{j}^{(k')} = 0 \quad \forall \, j \, \wedge \, \forall \, k, k' \quad (k \neq k')$
   (всі умовні основні ефекти для будь-якого лікування фактора однакові, а тому рівні . Це, по суті, відповідь Дайсона.)$j$$A$$\alpha_{j}$

3. $H_{0_{I}}: \beta_{k}^{(j)} - \beta_{k}^{(j')} = 0 \quad \forall \, j, j' \, \wedge \, \forall \, k \quad (j \neq j')$
   (всі умовні основні ефекти для будь-якої обробки фактора однакові, а тому рівні .)$k$$B$$\beta_{k}$

4. μ j k A x B $H_{0_{I}}$ : У яка показує очікувані значення з рівнями фактора на -осі та рівнями фактора намальованими як окремі лінії, різні лінії паралельні.$\mu_{jk}$$A$$x$$B$$q$

Взаємодія говорить про те, що рівні фактора А мають різний вплив залежно від того, який рівень фактора B ви застосовуєте. Тож ми можемо перевірити це за допомогою лінійного контрасту. Нехай C = (A1B1 - A1B2) - (A2B1 - A2B2), де A1B1 означає середнє значення для групи, яка отримала A1 і B1 тощо. Отже, тут ми дивимося на A1B1 - A1B2, що є ефектом, який має фактор B під час застосування A1. Якщо немає взаємодії, це має бути таким же, як і ефект B, коли ми застосовуємо A2: A2B1 - A2B2. Якщо вони однакові, їх різниця повинна бути 0, щоб ми могли використовувати тести:

$H_0: C = 0\quad\text{vs.}\quad H_A: C \neq 0.$