Теорема Гаусса-Маркова: СВІТИЙ та OLS

Я читаю теорему Гуаса-Маркова у Вікіпедії , і я сподівався, що хтось може допомогти мені з'ясувати головний пункт теореми.

Припускаємо, що лінійна модель у матричній формі задається:

$$y = X\beta +\eta$$ і ми шукаємо СВІТУ, $\widehat\beta$.

Відповідно до цього я б мітлю$\eta = y - X\beta$ "залишковий" і $\varepsilon = \widehat\beta - \beta$"помилка". (Тобто навпаки використання на сторінці Гаус-Маркова).

Оцінювач OLS (звичайні найменші квадрати) може бути отриманий як аргумент $||\text{residual}||_2^2 = ||\eta||_2^2$.

А тепер нехай $\mathbb{E}$позначають оператора очікування. Наскільки я розумію, те, що говорить нам теорема Гаусса-Маркова, це те, якщо$\mathbb{E}(\eta) = 0$ і $\text{Var}(\eta) = \sigma^2 I$, то аргмін по всіх лінійних, неупереджених оцінювачах $\mathbb{E}(||\text{error}||_2^2) = \mathbb{E} (||\varepsilon||_2^2)$ задається тим же виразом, що і Оцінювач OLS.

Тобто

$$\text{argmin}_{\text{} \widehat\beta(y)} \, ||\eta||_2^2 \;=\; (X'X)^{-1}X'y \;=\; \text{argmin}_{\text{linear, unbiased } \widehat\beta(y)} \, \mathbb{E}(||\varepsilon||_2^2)$$

Чи правильно моє розуміння? І якщо так, то ви б сказали, що він заслуговує на більш помітний акцент у статті?

Я не впевнений, чи правильно я зрозумів, що ви ставите питання, але якщо ви хочете довести, що OLS для $\hat{\beta}$ BLUE (найкращий лінійний неупереджений оцінювач), ви повинні довести наступні дві речі: Спочатку це $\hat{\beta}$ є неупередженим і другим, що $Var(\hat{\beta})$ є найменшим серед усіх лінійних неупереджених оцінювачів.

Доказ того, що оцінювач OLS є неупередженим, можна знайти тут http://economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/

і це підтверджують $Var(\hat{\beta})$найменший серед усіх лінійних неупереджених оцінювачів можна знайти тут http://economictheoryblog.com/2015/02/26/markov_theorem/

Здається, моя думка справді була правильною, як підтверджено, наприклад, на сторінці 375 книги Вступна економетрія . Відповідний уривок: