Якщо A і B співвідносяться з C, чому A і B не обов'язково співвідносяться?

Я емпірично знаю, що це так. Я щойно розробив моделі, які натрапляють на цю загадку. Я також підозрюю, що це не обов'язково відповідь так / ні. Я маю на увазі те, що якщо A і B співвідносяться з C, це може мати певний вплив на співвідношення між A і B. Але це може бути слабким. Це може бути лише вказівний напрямок і більше нічого.

Ось, що я маю на увазі ... Скажімо, і A, і B мають 0,5 кореляції з C. Враховуючи це, кореляція між A і B цілком може бути 1,0. Я думаю, що він також може бути 0,5 або навіть нижче. Але, я думаю, навряд чи це було б негативно. Чи згодні ви з цим?

Також чи є наслідки, якщо ви розглядаєте стандартний коефіцієнт кореляції Пірсона або замість цього коефіцієнт кореляції Спірмена (ранг)? Мої останні емпіричні спостереження були пов'язані з коефіцієнтом кореляції Спірмена.

Оскільки кореляція є математичною властивістю багатовимірних розподілів, деяке розуміння можна отримати виключно за допомогою обчислень, незалежно від статистичного генезу цих розподілів.

Для кореляції Пірсона , розглянуть multinormal змінних , , . З ними корисно працювати, тому що будь-яка негативна певна матриця насправді є матрицею коваріації деяких багатонормальних розподілів, тим самим вирішуючи питання існування. Якщо ми будемо дотримуватися матриць з по діагоналі, позадіагональні записи матриці коваріації будуть їх співвідношеннями. Запис кореляції і як , співвідношення і як , і співвідношення і якY Z 1 X Y ρ Y Z τ X Z $X$$Y$$Z$$1$$X$$Y$$\rho$$Y$$Z$$\tau$$X$$Z$$\sigma$ , ми обчислимо це

• $1 + 2 \rho \sigma \tau - \left(\rho^2 + \sigma^2 + \tau^2\right) \ge 0$ (тому що це визначник матриці кореляції і не може бути від'ємним).

• Коли це означає, що . Інакше кажучи: коли і і великі за величиною, і повинні мати ненульову кореляцію.ρ 2 + τ 2 ≤ 1 ρ τ X $\sigma = 0$$\rho^2 + \tau^2 \le 1$$\rho$$\tau$$X$$Z$

• Якщо , то можливе будь-яке негативне значення (від до звичайно).σ 0 $\rho^2 = \tau^2 = 1/2$$\sigma$$0$$1$

• Коли , допустимі негативні значення . Наприклад, коли , може знаходитися в будь-якому місці між та .сг р = τ = 1 / 2 СГА - 1 / 2 $\rho^2 + \tau^2 \lt 1$$\sigma$$\rho = \tau = 1/2$$\sigma$$-1/2$$1$

Ці міркування означають, що дійсно існують певні обмеження щодо взаємних кореляцій. Обмеження (які залежать лише від негативної визначеності матриці кореляції, а не від фактичних розподілів змінних) можуть бути посилені залежно від припущень щодо одновимірних розподілів. Наприклад, легко помітити (і довести), що коли розподіли і не в одній і тій же сім'ї масштабу локації, їх кореляція повинна бути строго меншою за . (Доведення: з співвідношення випливає, що і лінійно пов'язані як)Y 1 ± 1 X $X$$Y$$1$$\pm 1$$X$$Y$

Наскільки Спірмена рангові кореляції йдуть, розглянемо три trivariate спостереження , і з . Їх взаємні рангові співвідношення становлять , та . Таким чином , навіть знак рангу кореляції і можуть бути протилежний ознаки кореляції і і і .( 2 , 3 , 1 ) ( 3 , 2 , 3 ) ( X , Y , Z $(1,1,2)$$(2,3,1)$$(3,2,3)$$(X, Y, Z)$1 / 2 - 1 / 2 Y Z X У Й $1/2$$1/2$$-1/2$$Y$$Z$$X$$Y$$X$$Z$

Я зараз на щорічній риболовлі. Існує залежність між часом доби риболовлі та кількістю риби, яку я ловлю. Існує також кореляція між величиною принади, яку я вживаю, та кількістю риби, яку я виловлю. Не існує кореляції між розміром приманки та часом доби.

Кореляція - це косинус кута між двома векторами. У описаній ситуації (A, B, C) - це потрійна кількість спостережень, зроблених n разів, кожне спостереження - реальне число. Кореляція між A і B - це косинус кута між і , виміряний у n-мірному евклідовому просторі. Таким чином , наша ситуація зводиться до розгляду 3 векторів , і в п - мірному просторі. У нас є 3 пари векторів і тому 3 кути. Якщо два кути малі (висока кореляція), то й третій також буде малим. Але сказати "корельованим" - це не дуже обмеження: це означає, що кут знаходиться між 0 іV B = B - E ( B ) V A V B V C π / 2 π V A V B V C V A V $V_A=A-E(A)$$V_B=B-E(B)$$V_A$$V_B$$V_C$$\pi/2$. Взагалі це не дає обмежень щодо третього кута. Вважаючи це по- іншому, почати з будь-яким кутом менше , ніж між і (будь-кореляції , крім -1). Нехай навпіл кут між і . Тоді C буде корелювати як з A, так і з B.$\pi$$V_A$$V_B$$V_C$$V_A$$V_B$

Як доповнення до відповіді Ваубера: Представлена ​​формула

$1 + 2 \rho \sigma \tau - \left(\rho^2 + \sigma^2 + \tau^2\right) \ge 0$ .

можна перетворити на наступну нерівність (Olkin, 1981):

$\sigma\tau - \sqrt{(1-\sigma^2)(1-\tau^2)} \le \rho \le \sigma\tau + \sqrt{(1-\sigma^2)(1-\tau^2)}$

Графічне представлення верхніх і нижніх меж для виглядає наступним чином :$\rho$

Олкін, І. (1981). Обмеження діапазону для матриць кореляції продукту-моменту. Психометріка, 46, 469-472. doi: 10.1007 / BF02293804

Я думаю, що краще запитати "чому БУДЕ вони співвідноситись?" або, можливо, "Чому має бути якесь конкретне співвідношення?"

Наведений нижче код R показує випадок, коли x1 і x2 обидва корелюються з Y, але мають 0 кореляцію між собою

x1 <- rnorm(100)
x2  <- rnorm(100)
y <- 3*x1 + 2*x2 + rnorm(100, 0, .3)

cor(x1,y)
cor(x2,y)
cor(x1,x2)

Кореляцію з Y можна посилити, зменшуючи .3 до .1 або будь-що інше

Я залишу статистичну демонстрацію тим, хто для неї більше підходить, ніж я ... але інтуїтивно скажу, що подія A породжує процес X, який сприяє породженню події C. Тоді A співвідноситься з C (через X). B, з іншого боку, породжує Y, що також формує C. Тому A корелює зі C, B корелює зі C, але A і B не співвідносяться.

Для тих, хто хоче деякої інтуїції, співвідношення може розглядатися як косинус деякого кута. Отже, розглянемо три вектори в 3D, скажімо, A, B і C, кожен з яких відповідає одній змінній. Питання полягає у визначенні діапазону можливих кутів між A і C, коли кут між A і B, а також кут між B et C відомі. Для цього ви можете грати з онлайн-інструментом, не встановлюючи жодного програмного забезпечення. Просто перейдіть на сторінку http://www.montefiore.ulg.ac.be/~pierard/chained_correlations.php

Візьмемо один приклад:

A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9}

B={x1,x2,x3,0,0,0,0,0,0}

C={0,0,0,x4,x5,x6,0,0,0}

Для деяких x, A і B матимуть значну кореляцію, аналогічно A і C також матимуть значну кореляцію, але кореляція B і C не буде суттєвою.

Отже, не обов'язково вірно, що якщо A і B співвідносяться, а A і C співвідносяться, то B і C також співвідносяться.

Примітка. Для глибокого розуміння, будь ласка, розгляньте цей приклад на великих даних.