Очікуване значення та дисперсія журналу (a)

У мене є випадкова величина де a нормально розподілений . Що я можу сказати про та ? Наближення також буде корисним. $X(a) = \log(a)$ $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ $E(X)$ $Var(X)$

— rockportrocker
джерело

Я думаю, що питання стосувалося "зворотного" log-normal, тобто там, де нормальний rv A призводить до log-normal X = exp (A), запитуючий запитував про розподіл X = log (A), який не визначено (через те, що іноді потрібен журнал негативного числа). Можуть бути деякі результати для усіченого нормального, але вони, ймовірно, будуть безладними.

— Мартін О'Лірі

rockportrocker, як вказує @Martin O'Leary, математично неможливо мати таку змінну

, оскільки

не визначений для негативних значень. Як мінімум вам потрібно відсікти в якій - то позитивне значення. Не могли б ви сказати нам, чому ви вважаєте, що

може бути нормальним?

X

$X$

\log (a)

$\log(a)$

a

$a$

a

$a$

— whuber

Якщо ми розглянемо "наближення" в досить загальному сенсі, ми можемо кудись дістатися.

Ми повинні припустити, що ми не маємо фактичного нормального розподілу, але те, що є приблизно нормальним, крім щільності, не може бути ненульовою в околиці 0.

Отже , давайте говорити , що є «приблизно перпендикулярним» (і концентрується поблизу середнього *) в тому сенсі , що ми можемо handwave геть занепокоєння з приводу наближалися 0 (і його подальший вплив на моменти , тому що Байдуже 't' опуститися біля 0 '), але з тими ж моментами низького порядку, що і вказаний нормальний розподіл, тоді ми могли б використовувати ряд Тейлора для наближення моментів перетвореної випадкової величини . $a$ $a$ $\log(a)$ $a$

Для деякого перетворення це передбачає розширення як ряд Тейлора (подумайте, де бере роль ' ', а приймає роль ' '), а потім прийняття очікувань, а потім або обчислення дисперсії, або очікування квадрата розширення (з якого можна отримати дисперсію). $g(X)$ $g(\mu_X + X-\mu_X)$ $g(x+h)$ $\mu_X$ $x$ $X-\mu_X$ $h$

Орієнтовні очікування та відхилення в результаті:

і $\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

і так (якщо я не допустив жодних помилок), коли : $g() = \log()$

Е [журнал (а)] \approx л о г ({мк}_{а}) - \frac{σ_{а}^{2}}{2 {мк}_{а}^{2}}

$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$

Вар [журнал (а)] \approx σ_{а}^{2} / {мк}_{а}^{2}

$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$

* Щоб це було гарним наближенням, ви, як правило, хочете, щоб стандартне відхилення було зовсім невеликим порівняно із середнім (низький коефіцієнт варіації). $a$

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

Оскільки серія Тейлора для журналу має відносно невеликий радіус зближення, рекомендується обережність при застосуванні цих наближень.

— качан

@whuber для розширення навколо середнього значення, я думаю, це відповідатиме пораді про те, що "стандартне відхилення

має бути досить малим порівняно із середнім", на яке закінчується моя відповідь - якщо я пропускаю якийсь подальший питання, що ця порада не охоплює я повинен виправити свою відповідь.

a

$a$

— Glen_b -Встановіть Моніку

Наближення середнього значення працює досить добре для

а для дисперсії працює досить добре для

або близько того.

μ / σ > 1.5

$\mu/\sigma \gt 1.5$

μ / σ > 2.5

$\mu/\sigma \gt 2.5$

— whuber

У будь-якому випадку, безумовно, варто зрозуміти, що ми опосередковано покладаємось на конвергенцію

(оскільки

\ln (1 + x)

$\ln(1+x)$

\ln (μ + y - μ) = \ln [μ {1 + (y - μ) / μ}] = \ln (μ) + \ln [1 + (y - μ) / μ]

$\ln(\mu + y-\mu) = \ln[\mu\{1 + (y - \mu)/\mu\}] = \ln(\mu) + \ln[1 + (y - \mu)/\mu]$ ). Дякую також за запропоновані явні значення; якщо щось, можливо, я злегка обережний, коли використовую його. Два цінні коментарі.

— Glen_b -Встановіть Моніку