Відношення суми Нормального до суми кубів Нормального

12

Будь ласка, допоможіть мені знайти обмежуючий розподіл (як ) з наступного: де - iid . $n \rightarrow \infty$

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{X_{1}^{3} + X_{2}^{3} + \dots X_{n}^{3}},

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{X_1^3 + X_2^3 + \ldots X_n^3},$

X_{i}

$X_i$

N (0, 1)

$N(0,1)$

distributions normal-distribution asymptotics

— Арунангу Бісвас
джерело

1

Ви спробували подивитися на перетворення випадкових змінних? Наприклад, можна спробувати характерні функції, перетворення Лапласа-Стілєтджеса та ін.

— Штійн

1

Підказка: Чисельник та знаменник є асимптотично біваріантною нормою. Ви можете обчислити їх моменти безпосередньо: їхні значення очевидно дорівнюють нулю, дисперсія чисельника - , дисперсія знаменника - , а коваріація - . (Таким чином, кореляція дорівнює .) Щоб знайти обмежуючий розподіл, висловіть будь-який середньоквадратичний двовимірний нормальний у вигляді для незалежного нуля -місячні нормали і і константа , то зауважте, що відношення є зміщеним масштабним розподілом Коші.

n

$n$

15 n

$15n$

3 n

$3n$

3 / \sqrt{15} \approx 0.775

$3/\sqrt{15} \approx 0.775$

(U, V)

$(U,V)$

(A, β A + B)

$(A, \beta A + B)$

A

$A$

B

$B$

β

$\beta$

V / U = β + B / A

$V/U = \beta + B/A$

— whuber

2

Якщо формулюванням було де і незалежні, це була б просто класична вправа з підручником. Ви використовуєте той факт, що і ми можемо зробити висновок, що асимптоти масштабує розподіл Коші.

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{Y_{1}^{3} + Y_{2}^{3} + \dots Y_{n}^{3}}

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{Y_1^3 + Y_2^3 + \ldots Y_n^3}$

X_{i} \sim N (0, 1)

$X_i\sim N(0,1)$

Y_{i} \sim N (0, 1)

$Y_i \sim N(0,1)$

F_{n} \overset{d}{\to} F, G_{n} \overset{d}{\to} G \Rightarrow \frac{F_{n}}{G_{n}} \overset{d}{\to} \frac{F}{G}

$F_n \stackrel{d}{\to} F,\quad G_n \stackrel{d}{\to}G \Rightarrow \frac{F_n}{G_n} \stackrel{d}{\to} \frac{F}{G}$

U

$U$

Але у вашій постановці ми не можемо застосувати теорему через залежність. Мій Монте-Карло припускає, що граничний розподіл є невиродженим і він не має першого моменту і не є симетричним. Мені було б цікаво, чи існує явне вирішення цієї проблеми. Я відчуваю, що рішення можна написати лише в рамках процесу Вінера. $U_n$

[EDIT] Слідом за натяком Уюбера, зверніть увагу на це

(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}, \frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}^{3}) \overset{d}{\to} (Z_{1}, Z_{2})

$(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i},\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i^3})\stackrel{d}{\to}(Z_1,Z_2)$ де , зазначивши, що і . (моменти стандартних нормальних, для парних ) Тоді за теоремою безперервного відображення маємо Зазначаючи, що ми можемо записати де і незалежно від , робимо висновок, що де

(Z_{1}, Z_{2}) \sim N (0, (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 15 \end{matrix}))

$(Z_1,Z_2) \sim N(0,\pmatrix{1 &3 \\3 &15})$

E [X_{1}^{4}] = 3

$E[X_1^4]=3$

E [X_{1}^{6}] = 15

$E[X_1^6]=15$

(n - 1)!!

$(n-1)!!$

n

$n$

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{Z_{1}}{Z_{2}}

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{Z_1}{Z_2}$

Z_{1} = \frac{1}{5} Z_{2} + \sqrt{\frac{2}{5}} Z_{3}

$Z_1 = \frac{1}{5}Z_2+\sqrt{\frac{2}{5}}Z_3$

Z_{3} \sim N (0, 1)

$Z_3\sim N(0,1)$

Z_{2}

$Z_2$

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{5}} \frac{Z_{3}}{Z_{2}} \equiv \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{75}} Γ

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{5}}\frac{Z_3}{Z_2} \equiv \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{75}}\Gamma$

Γ \sim C a u c h y

$\Gamma \sim Cauchy$

— Юлій
джерело

0

Деякі коментарі, не повне рішення. Це довго шукати коментар, але насправді лише коментар. Деякі властивості розчину. Оскільки є стандартним нормальним, що є симетричним (приблизно нульовим) розподілом, також матиме симетричні розподіли, а суми (незалежних) симетричних rv будуть симетричними. Таким чином, це співвідношення з чисельником і знаменником, обидва симетричні, так буде симетричним. У знаменнику буде безперервна щільність, яка дорівнює нулю, тому ми очікуємо співвідношення до відсутності очікування (Це загальний результат, що якщо випадкова величина з постійною щільністю, додатною при нулі, то буде бракувати очікування . Побачити $X_i$ $X_i^3$ $Z$ $1/X$ Я чув, що співвідношення або обертання випадкових величин часто є проблематичними, тому що не мають очікувань. Чому так? ). Але тут існує залежність між чисельником і знаменником, що ускладнює справу ... (Зрозуміло, тут потрібно більше роздумів).

Цікава робота https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176991795 показує, що вище, куб стандартних нормальних змінних, має невизначений розподіл "у сенсі гамбургер", тобто це не визначається його моментами! Тож коментар вище про використання перетворень може вказувати на складний спосіб продовження! $x_i^3$

— kjetil b halvorsen
джерело